дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
Корпускулярные свойства света Пересечение плоскости с многогранником Исследование функции Пределы Производная График функции Векторная алгебра Линейные уравнения Матрицы Математический анализ Задачи на интеграл Интегральное исчисление Кратные интегралы Курсовые расчеты Инсталляции системы Запуск ОС Поддержка Plug and Play Интерфейс Панель управления Консоль управления Файловые системы FAT и FAT32 Информационные источники Сервер Web Работа в сетях Windows и Novell Интернет и почта Периферия и мультимедиа Работа с файлами Дополнительная конфигурация Конфигурирование X Windows Дистрибутив Служба удаленного доступа На главную Алгебраические уравнения

Конспект лекций по математике Собственные числа и собственные векторы

 

 Пример 19.8   Пусть $ L$  -- двумерное векторное пространство, $ l$  -- некоторая прямая, проходящая через начало координат, $ \mathcal{A}$  -- преобразование, переводящее каждый вектор $ x$ в его проекцию на прямую $ l$ (рис. 19.6). Очевидно, что любой ненулевой вектор, лежащий на прямой $ l$ , будет собственным вектором, соответствующим собственному числу 1, а любой ненулевой вектор на прямой перпендикулярной $ l$ и проходящей через начало координат, будет собственным вектором, соответствующим собственному числу 0.         
        Пример 19.9   Пусть $ \mathcal{A}$  -- линейное преобразование  примера 19.3. Очевидно, что векторы, являющиеся многочленами нулевой степени, то есть числами, будут собственными векторами, соотвествующими собственному числу 0.         

Если в пространстве $ L$ задан базис, то линейному преобразованию $ \mathcal{A}$ соответствует матрица $ A$ . Пусть $ x$  -- собственный вектор преобразования $ \mathcal{A}$ , соответствующий собственному числу $ {\lambda}$ , $ {\alpha}$  -- координатный столбец вектора $ x$ . Тогда равенство $ {\mathcal{A}(x)={\lambda}x}$ означает, что $ {A{\alpha}={\lambda}{\alpha}}$ .

        Определение 19.4   Ненулевая матрица-столбец $ {\alpha}$ называется собственным вектором квадратной матрицы $ A$ , соответствующим собственному числу $ {\lambda}$ , если выполнено равенство $ {A{\alpha}={\lambda}{\alpha}}$ .         
        Замечание 19.2   Между собственными числами (собственными векторами) матрицы и линейного преобразования есть некоторое различие. Линейное преобразование вещественного линейного пространства может не иметь собственных векторов и, соответственно, собственных чисел. Матрица же, как увидим дальше, всегда имеет хотя бы одно собственное число, быть может комплексное, и ему соответствует собственный вектор (тоже, быть может, комплексный). Но если рассматривать линейные преобразования $ n$ -мерных комплексных пространств, то собственные числа преобразований совпадают с собственными числами матриц и собственные векторы преобразований имеют координатными столбцами собственные векторы матриц.         
        Предложение 19.3   Если две матрицы подобны, то наборы собственных чисел у них одинаковы. Вычисление кратных интегралов Примеры решения и оформления задач контрольной работы

        Доказательство.     Пусть $ A$ и $ B$  -- две подобные матрицы порядка $ n$ . Рассмотрим $ n$ -мерное комплексное линейное пространство. Выберем в нем базис $ {e_1,\ldots,\,e_n}$ и рассмотрим линейное преобразование $ \mathcal{A}$ , которое в этом базисе имеет матрицу $ A$ . По  следствию 19.1 $ B$ будет матрицей того же преобразования $ \mathcal{A}$ в другом базисе. Так как собственные числа линейного преобразования не зависят от выбора базиса, то спектр (набор собственных чисел) преобразования $ \mathcal{A}$ будет совпадать со спектрами матриц $ A$ и $ B$ .     

 
       

Компьютерная математика Mathematica электронный учебник

Понятие о документах в форме notebooks

Как уже отмечалось, для выполнения простых арифметических операций достаточно набрать необходимое математическое выражение и нажать клавиши Shift и Enter одновременно (сама по себе клавиша Enter используется только для перевода строки внутри текущей строки ввода).

Нетрудно заметить, что вычисления в оболочке системы проходят так же, как при вычислениях на обычном калькуляторе. Однако прежде чем получить результат первого вычисления, даже столь простого, как вычисление 2 + 3, вам придется запастись терпением и дождаться, когда система загрузит свое ядро. Неопределенный интеграл. Табличное интегрирование Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Отдельные ячейки с математическими выражениями и результатами их вычислений отмечаются в правой части главного окна редактирования характерными тонкими квадратными скобками синего цвета. Это наглядно показывает, к чему относятся математические выражения — к исходным данным или результатам. Кроме того, ячейки могут иметь различный статус, который отмечается соответствующими значками над квадратными скобками, — речь об этом более подробно пойдет ниже. Примеры решения задач Вычисление объема тела по известным площадям его параллельных сечений Интегральное исчисление. Метод Крамера (Габриель Крамер (1704-1752) швейцарский математик) Данный метод также применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести ограничения на коэффициенты системы.

 

Закон Вина ;Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках драйверы режима ядра программное обеспечение необходимо для разработки и отладки драйверов Первый способ задания функции: табличный Степенная функция Обратные тригонометрические функции Определение непрерывности функции Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Производные функции, заданной параметрически Примеры исследования функций и построения графиков Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Тригонометрическая форма комплексного числа Изменить порядок интегрирования Вычислить двойной интеграл Вычисление тройных интегралов Сферические координаты Два основных метода интегрирования Замена переменных в двойном интеграле Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра