Корпускулярные свойства света Пересечение плоскости с многогранником Исследование функции Пределы Производная График функции Векторная алгебра Линейные уравнения Матрицы Математический анализ Задачи на интеграл Интегральное исчисление Кратные интегралы Курсовые расчеты Инсталляции системы Запуск ОС Поддержка Plug and Play Интерфейс Панель управления Консоль управления Файловые системы FAT и FAT32 Информационные источники Сервер Web Работа в сетях Windows и Novell Интернет и почта Периферия и мультимедиа Работа с файлами Дополнительная конфигурация Конфигурирование X Windows Дистрибутив Служба удаленного доступа На главную Алгебраические уравнения

Конспекты по математике Скалярное произведение Векторная алгебра

Кроме операций сложения и умножения на число на множестве векторов определены еще несколько операций. Одна из них -- скалярное произведение, позволяющее находить длины векторов и углы между векторами по координатам векторов.

Определение 10.25 Скалярным произведением векторов a и b называется число, равное $\vert{\bf a}\vert\vert{\bf b}\vert\cos{\varphi}$ , где ${\varphi}$ -- угол между векторами a и b.

Замечание 10.4 Если один из векторов нулевой, то угол ${\varphi}$ не определен. Скалярное произведение в этом случае считается равным нулю.

Скалярное произведение обозначается ${\bf a}\cdot{\bf b}$ , или ${\bf a}{\bf b}$ , или $({\bf a},{\bf b})$ . Скалярное произведение вектора на себя, aa, обозначается ${\bf a}^2$ . Скалярное произведение обладает следующими свойствами, которые мы сформулируем в виде теоремы.

Теорема 10.2 Для любых векторов a и b выполнены следующие соотношения:
1) ${\bf a}{\bf b}={\bf b}{\bf a}$ , свойство коммутативности;
2) ${\bf a}({\bf b}+{\bf c})={\bf a}{\bf b}+{\bf a}{\bf c}$ , свойство дистрибутивности;
3) $({\lambda}{\bf a}){\bf b}={\lambda}({\bf a}{\bf b})$ ;
4) ${\bf a}^2>0$ при ${\bf a}\ne0$ ;
5) ${\bf a}^2=\vert{\bf a}\vert^2$ ;
6) Если ${\varphi}$ -- угол между векторами a и b, то $\cos{\varphi}=\dfrac{{\bf a}{\bf b}} {\vert{\bf a}\vert\vert{\bf b}\vert}$ ; Метод контурных токов
7) ${\bf a}{\bf b}=\vert{\bf a}\vert Пр_{{\bf a}}{\bf b}$ , если ${\bf a}\ne0$ ;
8) ${\bf a}{\bf b}=0$ тогда и только тогда, когда векторы a и b ортогональны.

Доказательство. Свойства 1,4,5,6 очевидным образом следуют из определения скалярного произведения. Свойство 8 получим, если вспомним, что нулевой вектор считается ортогональным любому вектору. Свойство 7 получим из определения скалярного произведения, использовав предложение 10.13, в силу которого ${ Пр_{{\bf a}}{\bf b}=\vert{\bf b}\vert\cos{\varphi}}$ .

Производная функции Додекаэдр - правильный двенадцатигранник, Такое поведение называется многозадачностью (multitasking) аксонометрические проекции

Докажем свойство 2. В силу свойства 7, при ${\bf a}\ne0$ , имеем ${{\bf a}({\bf b}+{\bf c})=\vert{\bf a}\vert Пр_{{\bf a}}({\bf b}+{\bf c})}$ . По предложению 10.14 ${ Пр_{{\bf a}} ({\bf b}+{\bf c})=Пр_{{\bf a}}{\bf b}+ Пр_{{\bf a}}{\bf c}}$ . Поэтому

$\displaystyle {\bf a}({\bf b}+{\bf c})=\vert{\bf a}\vert\left( Пр_{{\bf a}}{\b... ...}{\bf b}+\vert{\bf a}\vert Пр_{{\bf a}}{\bf c}= {\bf a}{\bf b}+{\bf a}{\bf c}.$

Если ${\bf a}=0$ , то свойство 2 очевидно.

Докажем свойство 3. При ${\bf b}=0$ свойство очевидно. Пусть ${\bf b}\ne0$ . Тогда

$\displaystyle ({\lambda}{\bf a}){\bf b}={\bf b}({\lambda}{\bf a})=\vert{\bf b}\vert Пр_{{\bf b}}({\lambda}{\bf a}).$

В силу предложения 10.15 ${ Пр_{{\bf b}}({\lambda}{\bf a})={\lambda}Пр_{{\bf b}}{\bf a}}$ . Поэтому

$\displaystyle ({\lambda}{\bf a}){\bf b}=\vert{\bf b}\vert{\lambda}Пр_{{\bf b}}{... ..._{{\bf b}}{\bf a}\right)= {\lambda}({\bf b}{\bf a})={\lambda}({\bf a}{\bf b}).$

Итак, все свойства доказаны.

Получим формулу для вычисления скалярного произведения по координатам сомножителей в ортонормированном базисе.

Компьютерная математика Mathematica электронный учебник

Структура систем Mathematica и их идеология

Следует отметить, что скромные (в смысле аппаратных требований) версии системы Mathematica 2.2.2 по сей день производятся фирмой Wolfram и используются в основном в системе образования. Они продаются по ценам в несколько раз меньшим, чем последующие реализации 3 и 4. Сейчас версии системы для IBM-совместимых ПК Mathematica 2, 3 и 4 распространяются в России на оптических дисках. Это намного повышает их доступность, хотя нередки случаи поставки не вполне работоспособных систем на дисках сомнительного происхождения. Примеры решения задач Примеры Интегрирование по частям Математика примеры вычислений интегралов Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике Интегрирование рациональных функций Для того, чтобы проинтегрировать рациональную дробь (многочлен в числителе, многочлен в знаменателе), обычно нужно ее упростить (как вы помните, это значит – представить в виде суммы).

Центральное место в системах класса Mathematica занимает машинно-независимое ядро математических операций — Kernel. Для ориентации системы на конкретную машинную платформу служит программный интерфейсный процессор Front End. Именно он определяет, какой вид имеет пользовательский интерфейс системы. В этой главе далее будет описан интерфейсный процессор для ПК с массовыми операционными системами Windows 95/98/NT. Разумеется, интерфейсные процессоры систем Mathematica для других платформ могут иметь свои нюансы, но особых различий с описанным интерфейсным процессором у них нет.

Любопытны данные об объеме ядра разных реализаций системы Mathematica, приведенные в книге Стивена Вольфрама:

Закон Вина ;Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках драйверы режима ядра программное обеспечение необходимо для разработки и отладки драйверов Первый способ задания функции: табличный Степенная функция Обратные тригонометрические функции Определение непрерывности функции Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Производные функции, заданной параметрически Примеры исследования функций и построения графиков Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Тригонометрическая форма комплексного числа Изменить порядок интегрирования Вычислить двойной интеграл Вычисление тройных интегралов Сферические координаты Два основных метода интегрирования Замена переменных в двойном интеграле Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра