Конспект лекций по математике Нахождение собственных чисел и собственных векторов матриц примеры

Конспект лекций по математике Нахождение собственных чисел и собственных векторов матриц

Пример 19.10 Найдите собственные числа и собственные векторы матрицы $\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr}1&-3&4\\ 4&-7&8\\ 6&-7&7\end{array}\right).$

Решение. Составляем характеристическую матрицу ${A-{\lambda}E}$ :

$\displaystyle A-{\lambda}E=\left(\begin{array}{rrr}1&-3&4\\ 4&-7&8\\ 6&-7&7\end... ...}{ccc}1-{\lambda}&-3&4\\ 4&-7-{\lambda}&8\\ 6&-7&7-{\lambda}\end{array}\right).$

Находим характеристический многочлен

$\begin{multline*} \vert A-{\lambda}E\vert=\left\vert\begin{array}{ccc}1-{\lambd... ...-7-{\lambda})\big)=\\ =-{\lambda}^3+{\lambda}^2+5{\lambda}+3. \end{multline*}$

Решим характеристическое уравнение

$\displaystyle -{\lambda}^3+{\lambda}^2+5{\lambda}+3=0.$

Подбором находим, что один корень уравнения равен

. Есть теорема, которая говорит, что если число

является корнем многочлена

, то многочлен

делится на разность

, то есть

, где

-- многочлен. В соответствии с этой теоремой многочлен ${-{\lambda}^3+{\lambda}^2+5{\lambda}+3}$ должен делиться на ${{\lambda}-(-1)}$ . Выделим в характеристическом многочлене этот множитель ${{\lambda}+1}$ : Генератор постоянного тока с параллельным возбуждением, имеющий сопротивление обмотки якоря Rя = 0,1 Ом и сопротивление обмотки возбуждения Rв = 60 Ом, нагружен внешним сопротивлением R= 4 Ом. Напряжение на зажимах машины U = 220 В.

$\begin{multline*} -{\lambda}^3+{\lambda}^2+5{\lambda}+3=(-{\lambda}^3-{\lambda}... ...+3({\lambda}+1)=\\ =({\lambda}+1)(-{\lambda}^2+2{\lambda}+3). \end{multline*}$

Находим корни трехчлена ${-{\lambda}^2+2{\lambda}+3}$ . Они равны

и 3. Таким образом,

$\displaystyle -{\lambda}^3+{\lambda}^2+5{\lambda}+3=-({\lambda}+1)^2({\lambda}-3),$

${{\lambda}_1=-1}$ -- корень кратности 2 17.7 b, ${{\lambda}_2=3}$ -- простой корень. Итак, собственные числа матрицы

равны ${{\lambda}_1=-1}$ , ${{\lambda}_2=3}$ . Найдем соответствующие им собственные векторы.

Пусть ${{\lambda}=-1}$ , тогда для собственного вектора ${\alpha}$ получаем матричное уравнение

$\displaystyle \left(\begin{array}{rrr}2&-3&4\\ 4&-6&8\\ 6&-7&8\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\alpha}_1\\ {\alpha}_2\\ {\alpha}_3\end{array}\right)=0,$

что соответствует системе уравнений

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}2{\alpha}_1-3{\alpha}_2+4{\alpha}_3=0,\\ ... ...2+8{\alpha}_3=0,\\ 6{\alpha}_1-7{\alpha}_2+8{\alpha}_3=0. \end{array}\right.$

Решаем ее методом Гаусса (раздел "Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса)"). Выписываем расширенную матрицу системы

$\displaystyle A^*=\left(\begin{array}{rrrr}2&-3&4&0\\ 4&-6&8&0\\ 6&-7&8&0\end{array}\right).$

Первую строку, умноженную на числа

прибавляем соответственно ко второй и третьей строкам

$\displaystyle A^*_1=\left(\begin{array}{rrrr}2&-3&4&0\\ 0&0&0&0\\ 0&2&-4&0\end{array}\right).$

Меняем местами вторую и третью строки

$\displaystyle A^*_2=\left(\begin{array}{rrrr}2&-3&4&0\\ 0&2&-4&0\\ 0&0&0&0\end{array}\right).$

Возвращаемся к системе уравнений

$\displaystyle \left\{\begin{array}{r@{\;=\;}l}2{\alpha}_1-3{\alpha}_2-4{\alpha}_3&0,\\ 2{\alpha}_2+4{\alpha}_3&0\end{array}\right.$

Базисный минор матрицы

находится в первых двух столбцах и первых двух строках, ранг равен 2. Поэтому фундаментальня система содержит только одно решение. Переменные ${\alpha}_1$ и ${\alpha}_2$ оставляем в левой части, а переменное ${\alpha}_3$ переносим в правую часть

$\displaystyle \left\{\begin{array}{r@{\;=\;}l}2{\alpha}_1-3{\alpha}_2&-4{\alpha}_3,\\ 2{\alpha}_2&4{\alpha}_3\end{array}\right.$

Полагаем ${{\alpha}_3=1}$ , находим ${{\alpha}_2=2}$ , ${{\alpha}_1=1}$ . Итак, собственному числу ${{\lambda}_1=-1}$ соответствует собственный вектор ${{\alpha}=\left(\begin{array}{r}1\\ 2\\ 1\end{array}\right)}$ .

Пусть ${{\lambda}=3}$ , тогда для собственного вектора ${\beta}$ получаем матричное уравнение

$\displaystyle \left(\begin{array}{rrr}-2&-3&4\\ 4&-10&8\\ 6&-7&4\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\beta}_1\\ {\beta}_2\\ {\beta}_3\end{array}\right) =0,$

что соответствует системе уравнений $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}-2{\beta}_1-3{\beta}_2+4{\beta}_3=0,\\ 4{\... ...beta}_2+8{\beta}_3=0,\\ 6{\beta}_1-7{\beta}_2+4{\beta}_3=0.\end{array}\right.$

Решаем ее методом Гаусса. Выписываем расширенную матрицу $\displaystyle A^*=\left(\begin{array}{rrrr}-2&-3&4&0\\ 4&-10&8&0\\ 6&-7&4&0\end{array}\right).$

Первую строку умножаем на числа 2 и 3 и прибавляем соответственно ко второй и третьей строкам $\displaystyle A^*_1=\left(\begin{array}{rrrr}-2&-3&4&0\\ 0&-16&16&0\\ 0&-16&16&0\end{array}\right).$

Вторую строку умножаем на

и прибавляем к третьей

$\displaystyle A^*_2=\left(\begin{array}{rrrr}-2&-3&4&0\\ 0&-16&16&0\\ 0&0&0&0\end{array}\right).$

Возвращаемся к системе уравнений

$\displaystyle \left\{\begin{array}{r@{\;=\;}l}-2{\beta}_1-3{\beta}_2+4{\beta}_3&0,\\ -16{\beta}_2+16{\beta}_3&0\end{array}\right.$

Базисный минор матрицы

находится в первых двух столбцах и первых двух строках, ранг равен 2. Поэтому фундаментальная система содержит только одно решение. Переменные ${\beta}_1$ и ${\beta}_2$ оставляем в левой части, а переменное ${\beta}_3$ переносим в правую часть

$\displaystyle \left\{\begin{array}{r@{\;=\;}l}-2{\beta}_1-3{\beta}_2&-4{\beta}_3,\\ -16{\beta}_2&-16{\beta}_3\end{array}\right.$

Полагаем ${{\beta}_3=1}$ , находим ${{\beta}_2=1}$ , ${{\beta}_1=0.5}$ . Итак, собственному числу ${{\lambda}_1=-1}$ соответствует собственный вектор . Чтобы избавиться от дроби, умножим собственный вектор на 2, получим собственный вектор с тем же самым собственным числом. В итоге собственному числу ${{\lambda}_2=3}$ соответствует собственный вектор ${{\beta}=\left(\begin{array}{r}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)}$ .

Ответ: Собственные числа: ${{\lambda}_1=-1}$ , ${{\lambda}_2=3}$ , соответствующие собственные векторы: ${{\alpha}=\left(\begin{array}{r}1\\ 2\\ 1\end{array}\right)}$ , ${{\beta}=\left(\begin{array}{r}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)}$ .

Компьютерная математика Mathematica электронный учебник

Понятие о документах в форме notebooks

Как уже отмечалось, для выполнения простых арифметических операций достаточно набрать необходимое математическое выражение и нажать клавиши Shift и Enter одновременно (сама по себе клавиша Enter используется только для перевода строки внутри текущей строки ввода).

Нетрудно заметить, что вычисления в оболочке системы проходят так же, как при вычислениях на обычном калькуляторе. Однако прежде чем получить результат первого вычисления, даже столь простого, как вычисление 2 + 3, вам придется запастись терпением и дождаться, когда система загрузит свое ядро. Неопределенный интеграл. Табличное интегрирование Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Отдельные ячейки с математическими выражениями и результатами их вычислений отмечаются в правой части главного окна редактирования характерными тонкими квадратными скобками синего цвета. Это наглядно показывает, к чему относятся математические выражения — к исходным данным или результатам. Кроме того, ячейки могут иметь различный статус, который отмечается соответствующими значками над квадратными скобками, — речь об этом более подробно пойдет ниже. Примеры решения задач Вычисление объема тела по известным площадям его параллельных сечений Интегральное исчисление. Метод Крамера (Габриель Крамер (1704-1752) швейцарский математик) Данный метод также применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести ограничения на коэффициенты системы.

Закон Вина ;Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках драйверы режима ядра программное обеспечение необходимо для разработки и отладки драйверов Первый способ задания функции: табличный Степенная функция Обратные тригонометрические функции Определение непрерывности функции Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Производные функции, заданной параметрически Примеры исследования функций и построения графиков Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Тригонометрическая форма комплексного числа Изменить порядок интегрирования Вычислить двойной интеграл Вычисление тройных интегралов Сферические координаты Два основных метода интегрирования Замена переменных в двойном интеграле Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра