дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
Корпускулярные свойства света Пересечение плоскости с многогранником Исследование функции Пределы Производная График функции Векторная алгебра Линейные уравнения Матрицы Математический анализ Задачи на интеграл Интегральное исчисление Кратные интегралы Курсовые расчеты Инсталляции системы Запуск ОС Поддержка Plug and Play Интерфейс Панель управления Консоль управления Файловые системы FAT и FAT32 Информационные источники Сервер Web Работа в сетях Windows и Novell Интернет и почта Периферия и мультимедиа Работа с файлами Дополнительная конфигурация Конфигурирование X Windows Дистрибутив Служба удаленного доступа На главную Алгебраические уравнения

Конспект лекций по математике Метод простых итераций Приближённое нахождение корней уравнений

 

        Теорема 9.3   Если функция $ {\varphi}(x)$ имеет производную в некоторой окрестности $ E$ корня $ x^*$ уравнения $ x={\varphi}(x)$, причём $ \vert{\varphi}'(x)\vert\leqslant {\gamma}<1$ при $ x\in E$, то последовательность итераций $ x_{i+1}={\varphi}(x_i)$, полученных при $ i=1,2,3,\dots$, начиная с $ x_0\in E$, сходится к корню $ x^*$.
При этом скорость сходимости задаётся неравенствами
$\displaystyle \vert x_i-x^*\vert\leqslant {\gamma}^i\vert x_0-x^*\vert,\quad i=1,2,3,\dots,$
$\displaystyle \vert x_{i+1}-x_i\vert\leqslant 4{\delta}{\gamma}^i,$
где $ 2{\delta}$ -- длина окрестности $ E$, а точность $ i$-го приближения -- оценкой
$\displaystyle \vert x_i-x^*\vert\leqslant 2{\delta}{\gamma}^i.$
        Доказательство.     Пусть $ x_0\in E$. По формуле конечных приращений, применённой к отрезку между точками $ x_0$ и $ x^*$, получаем
$\displaystyle {\varphi}(x_0)-{\varphi}(x^*)={\varphi}'(c_0)(x_0-x^*),$
где $ c_0$ лежит между $ x_0$ и $ x^*$. Значит,  Пример Для питания постоянным током потребителя мощностью Pd = Вт при напряжении Ud = 100 B необходимо собрать схему однополупериодного выпрямления, подобрав диоды, технические данные которых приведены в таблице 2.
$\displaystyle \vert{\varphi}(x_0)-{\varphi}(x^*)\vert\leqslant {\gamma}\vert x_0-x^*\vert,$
то есть
$\displaystyle \vert x_1-x^*\vert\leqslant {\gamma}\vert x_0-x^*\vert$
(напомним, что $ {\varphi}(x_0)=x_1$ и $ {\varphi}(x^*)=x^*$). Повторяя рассуждения для точек $ x_1,x_2,\dots,x_{i-1},x_i$ вместо $ x_0$, получаем:
$\displaystyle \vert x_2-x^*\vert=\vert{\varphi}(x_1)-{\varphi}(x^*)\vert\leqslant {\gamma}\vert x_1-x^*\vert\leqslant {\gamma}^2\vert x_0-x^*\vert;$   
$\displaystyle \vert x_3-x^*\vert=\vert{\varphi}(x_2)-{\varphi}(x^*)\vert\leqslant {\gamma}\vert x_2-x^*\vert\leqslant {\gamma}^3\vert x_0-x^*\vert;$   
$\displaystyle \dots$   
$\displaystyle \vert x_i-x^*\vert=\vert{\varphi}(x_{i-1})-{\varphi}(x^*)\vert\leqslant {\gamma}\vert x_{i-1}-x^*\vert\leqslant {\gamma}^i\vert x_0-x^*\vert;$   
$\displaystyle \vert x_{i+1}-x^*\vert=\vert{\varphi}(x_i)-{\varphi}(x^*)\vert\leqslant {\gamma}\vert x_i-x^*\vert\leqslant {\gamma}^{i+1}\vert x_0-x^*\vert;$   
$\displaystyle \dots$   

Так как $ 0<{\gamma}<1$, последовательность $ {\gamma}^i\vert x_0-x^*\vert$ стремится к 0 при $ i\to\infty$. Значит, $ x_i\to x^*$ при $ i\to\infty$.
Неравенство $ \vert x_i-x^*\vert\leqslant 2{\delta}{\gamma}^i$ очевидно, поскольку из того, что $ x_0$ и $ x^*$ лежат в окрестности $ E$ длины $ 2{\delta}$, следует, что $ \vert x_0-x^*\vert\leqslant 2{\delta}$.
Поскольку
$\displaystyle \vert x_{i+1}-x_i\vert\leqslant \vert x_{i+1}-x^*\vert+\vert x_i-x^*\vert,$
мы имеем
$\displaystyle \vert x_{i+1}-x_i\vert\leqslant {\gamma}^{i+1}\vert x_0-x^*\vert+... ...mma}+1)\vert x_0-x^*\vert< {\gamma}^i\cdot2\cdot2{\delta}=4{\delta}{\gamma}^i,$
так как $ {\gamma}+1<2$ и $ \vert x_0-x^*\vert\leqslant 2{\delta}.$     
        Определение 9.1   Доказанные оценки показывают, что скорость сходимости итераций к корню не меньше, чем у геометрической прогрессии со знаменателем $ {\gamma}$, где $ {\gamma}$ -- величина, ограничивающая сверху абсолютную величину производной. Тем самым, чем меньше $ {\gamma}>0$, тем быстрее сходятся итерации. Наиболее быстро они будут сходиться, если график $ y={\varphi}(x)$ пересекает прямую $ y=x$, имея горизонтальную касательную, то есть при $ {\varphi}(x^*)=0$ (и, разумеется, при выборе начального приближения $ x_0$ достаточно близко к корню $ x^*$, так чтобы на отрезке между $ x_0$ и $ x^*$ производная мало отличалась от 0).
Рис.9.10.Быстрая сходимость итераций при горизонтальной касательной к графику

    
Выше мы отмечали, что привести уравнение $ f(x)=0$ к виду $ x={\varphi}(x)$ можно, выбирая $ {\varphi}(x)$ в виде $ {\varphi}(x)=x-{\lambda}(x)f(x)$, где $ {\lambda}(x)\ne0$ -- произвольная функция. При различных способах выбора $ {\lambda}(x)$ получаются разные модификации метода итераций, которые имеют отличающиеся свойства: разную скорость сходимости (но не меньшую той, что гарантирована теоремой) и разную потребность в вычислении значений функции $ f$ или $ {\varphi}$, а также их производных.
Отметим самые употребительные из этих методов.

 

Компьютерная математика Mathematica электронный учебник

Понятие о документах в форме notebooks

Как уже отмечалось, для выполнения простых арифметических операций достаточно набрать необходимое математическое выражение и нажать клавиши Shift и Enter одновременно (сама по себе клавиша Enter используется только для перевода строки внутри текущей строки ввода).

Нетрудно заметить, что вычисления в оболочке системы проходят так же, как при вычислениях на обычном калькуляторе. Однако прежде чем получить результат первого вычисления, даже столь простого, как вычисление 2 + 3, вам придется запастись терпением и дождаться, когда система загрузит свое ядро. Неопределенный интеграл. Табличное интегрирование Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Отдельные ячейки с математическими выражениями и результатами их вычислений отмечаются в правой части главного окна редактирования характерными тонкими квадратными скобками синего цвета. Это наглядно показывает, к чему относятся математические выражения — к исходным данным или результатам. Кроме того, ячейки могут иметь различный статус, который отмечается соответствующими значками над квадратными скобками, — речь об этом более подробно пойдет ниже. Примеры решения задач Вычисление объема тела по известным площадям его параллельных сечений Интегральное исчисление. Метод Крамера (Габриель Крамер (1704-1752) швейцарский математик) Данный метод также применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести ограничения на коэффициенты системы.

 

Закон Вина ;Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках драйверы режима ядра программное обеспечение необходимо для разработки и отладки драйверов Первый способ задания функции: табличный Степенная функция Обратные тригонометрические функции Определение непрерывности функции Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Производные функции, заданной параметрически Примеры исследования функций и построения графиков Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Тригонометрическая форма комплексного числа Изменить порядок интегрирования Вычислить двойной интеграл Вычисление тройных интегралов Сферические координаты Два основных метода интегрирования Замена переменных в двойном интеграле Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра