дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
Корпускулярные свойства света Пересечение плоскости с многогранником Исследование функции Пределы Производная График функции Векторная алгебра Линейные уравнения Матрицы Математический анализ Задачи на интеграл Интегральное исчисление Кратные интегралы Курсовые расчеты Инсталляции системы Запуск ОС Поддержка Plug and Play Интерфейс Панель управления Консоль управления Файловые системы FAT и FAT32 Информационные источники Сервер Web Работа в сетях Windows и Novell Интернет и почта Периферия и мультимедиа Работа с файлами Дополнительная конфигурация Конфигурирование X Windows Дистрибутив Служба удаленного доступа На главную Алгебраические уравнения

Конспект лекций по математике Матрица линейного преобразования в базисе из собственных векторов

В разделе "Матрица линейного преобразования" мы выяснили, что каждое линейное преобразование $ n$ -мерного линейного пространства в фиксированном базисе задается матрицей. Если меняется базис, то, как правило, меняется и матрица. Возникает вопрос, нельзя ли найти базис, в котором матрица линейного преобразования имеет наиболее простой вид. В общем случае выбрать такой базис довольно сложно. Это связано с нахождением нормальной жордановой формы матрицы, изложение которого можно найти в более обстоятельных учебниках по линейной алгебре, например, в [4], [5]. Следующая теорема отвечает на этот вопрос в более простом случае.

        Теорема 19.2   Пусть $ \mathcal{A}$  -- линейное преобразование $ n$ -мерного линейного пространства. Матрица линейного преобразования имеет диагональный вид
Производная функции Додекаэдр - правильный двенадцатигранник, Такое поведение называется многозадачностью (multitasking) аксонометрические проекции
$\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda}_1&0&\ldots&0\\ 0&{\lambda}_2&\ldots&0\\ \hdotsfor{4}\\ 0&0&\ldots&{\lambda}_n\end{array}\right)$(19.5)
 

тогда и только тогда, когда векторы базиса являются собственнными векторами преобразования $ \mathcal{A}$ , соответствующими собственным числам $ {{\lambda}_1,\,{\lambda}_2, \ldots,\,{\lambda}_n}$ .

        Доказательство.     Пусть преобразование $ \mathcal{A}$ имеет $ n$ линейно независимых собственных векторов $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$ , соответствующих собственным числам $ {{\lambda}_1,\,{\lambda}_2\ldots,\,{\lambda}_n}$ . Так как векторы $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$ линейно независимы, то они образуют базис. Найдем матрицу преобразования $ \mathcal{A}$ в этом базисе. Ее первый столбец является координатным столбцом вектора $ {\mathcal{A}(e_1)}$ . Так как $ {e_1}$  -- собственный вектор, то

$\displaystyle \mathcal{A}(e_1)={\lambda}_1e_1={\lambda}_1e_1+0e_2+\ldots+0e_n.$

Координатный столбец этого вектора $ \left(\begin{array}{c}{\lambda}_1\\ 0\\ \vdots\\ 0\end{array}\right)$ . Второй столбец матрицы $ A$ является координатным столбцом вектора $ {\mathcal{A} (e_2)}$ . Так как $ {e_2}$  -- собственный вектор, то

$\displaystyle \mathcal{A}(e_2)={\lambda}_2e_2=0e_1+{\lambda}_2e_2+\ldots+0e_n.$

Координатный столбец этого вектора $ \left(\begin{array}{c}0\\ {\lambda}_2\\ \vdots\\ 0\end{array}\right)$ . Вычисляя аналогично остальные столбцы, получаем, что матрица линейного преобразования $ \mathcal{A}$ в базисе $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$ имеет вид  (19.5). Первая часть теоремы доказана.

Пусть в некотором базисе $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$ матрица линейного преобразования имеет вид (19.5). Найдем образ вектора $ e_1$ . Этот вектор имеет координатный столбец $ \left(\begin{array}{r}1\\ 0\\ \vdots\\ 0\end{array}\right)$ , его образ имеет координатный столбец

$\displaystyle A\left(\begin{array}{r}1\\ 0\\ \vdots\\ 0\end{array}\right)= \le... ...}\right)={\lambda}_1\left(\begin{array}{r}1\\ 0\\ \vdots\\ 0\end{array}\right).$

Следовательно, $ {\lambda}_1$  -- собственное число преобразования $ \mathcal{A}$ , а $ e_1$  -- соответствущий ему собственный вектор. Аналогично находим, что любой базисный вектор $ e_i$ является собственным вектором преобразования $ \mathcal{A}$ , соответствующим собственному числу $ {\lambda}_i$ .     

        Следствие 19.2   Если у матрицы $ A$ порядка $ n$ существует набор из $ n$ линейно независимых собственнных векторов, соответствующих собственным числам $ {{\lambda}_1,\,{\lambda}_2\ldots,\,{\lambda}_n}$ , то матрица $ A$ подобна диагональной матрице с числами $ {{\lambda}_1,\,{\lambda}_2\ldots,\,{\lambda}_n}$ на диагонали.
       

Компьютерная математика Mathematica электронный учебник

Понятие о документах в форме notebooks

Как уже отмечалось, для выполнения простых арифметических операций достаточно набрать необходимое математическое выражение и нажать клавиши Shift и Enter одновременно (сама по себе клавиша Enter используется только для перевода строки внутри текущей строки ввода).

Нетрудно заметить, что вычисления в оболочке системы проходят так же, как при вычислениях на обычном калькуляторе. Однако прежде чем получить результат первого вычисления, даже столь простого, как вычисление 2 + 3, вам придется запастись терпением и дождаться, когда система загрузит свое ядро. Неопределенный интеграл. Табличное интегрирование Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Отдельные ячейки с математическими выражениями и результатами их вычислений отмечаются в правой части главного окна редактирования характерными тонкими квадратными скобками синего цвета. Это наглядно показывает, к чему относятся математические выражения — к исходным данным или результатам. Кроме того, ячейки могут иметь различный статус, который отмечается соответствующими значками над квадратными скобками, — речь об этом более подробно пойдет ниже. Примеры решения задач Вычисление объема тела по известным площадям его параллельных сечений Интегральное исчисление. Метод Крамера (Габриель Крамер (1704-1752) швейцарский математик) Данный метод также применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести ограничения на коэффициенты системы.

 

Закон Вина ;Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках драйверы режима ядра программное обеспечение необходимо для разработки и отладки драйверов Первый способ задания функции: табличный Степенная функция Обратные тригонометрические функции Определение непрерывности функции Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Производные функции, заданной параметрически Примеры исследования функций и построения графиков Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Тригонометрическая форма комплексного числа Изменить порядок интегрирования Вычислить двойной интеграл Вычисление тройных интегралов Сферические координаты Два основных метода интегрирования Замена переменных в двойном интеграле Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра