дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
Проводники, полупроводники и изоляторы Два основных метода интегрирования Исследование функции Пределы Производная График функции Векторная алгебра Линейные уравнения Матрицы Математический анализ Задачи на интеграл Интегральное исчисление Кратные интегралы Курсовые расчеты Инсталляции системы Запуск ОС Поддержка Plug and Play Интерфейс Панель управления Консоль управления Файловые системы FAT и FAT32 Информационные источники Сервер Web Работа в сетях Windows и Novell Интернет и почта Периферия и мультимедиа Работа с файлами Дополнительная конфигурация Конфигурирование X Windows Дистрибутив Служба удаленного доступа На главную Звездчатые формы и соединения тел Платона В C++ имеется операция разрешения области действия

дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
Корпускулярные свойства света Пересечение плоскости с многогранником Исследование функции Пределы Производная График функции Векторная алгебра Линейные уравнения Матрицы Математический анализ Задачи на интеграл Интегральное исчисление Кратные интегралы Курсовые расчеты Инсталляции системы Запуск ОС Поддержка Plug and Play Интерфейс Панель управления Консоль управления Файловые системы FAT и FAT32 Информационные источники Сервер Web Работа в сетях Windows и Novell Интернет и почта Периферия и мультимедиа Работа с файлами Дополнительная конфигурация Конфигурирование X Windows Дистрибутив Служба удаленного доступа На главную Алгебраические уравнения

Конспект лекций по математике Метод Ньютона (метод касательных) нахождение корней уравнения


Рассмотрение предыдущего метода позволяет предположить, что итерации станут приближаться к корню ещё быстрее, если мы будем выбирать касательную вместо секущей не только на первом, а на каждом шаге. Ясно, что тогда формула итераций будет иметь вид

$\displaystyle x_{i+1}=x_i-\dfrac{1}{f'(x_i)}f(x_i)$(9.1)
 

Некоторые свойства интеграла ФНП Примеры решения и оформления задач контрольной работы

(сравните с формулой метода одной касательной). Этот метод называется методом касательных, или методом Ньютона. Действительно, последовательные приближения метода Ньютона сходятся гораздо быстрее, чем в общем методе итераций (скорость сходимости приближений в котором, напомним, та же, что у геометрической прогрессии со знаменателем $ {\gamma}$ при $ 0<{\gamma}<1$).

Поскольку для метода Ньютона

$\displaystyle {\varphi}(x)=x-\dfrac{f(x)}{f'(x)},$

то

$\displaystyle {\varphi}'(x)=1-\dfrac{(f'(x))^2-f(x)f''(x)}{(f'(x))^2}= \dfrac{f(x)f''(x)}{(f(x))^2}.$

В точке $ x^*$ получаем $ {\varphi}'(x^*)=0$, так как $ f(x^*)=0$. Тем самым, в этом методе график $ y={\varphi}(x)$ пересекает прямую $ y=x$ в точности по горизонтали, что приводит к очень быстрой сходимости итераций к $ x^*$. Именно, имеет место оценка

$\displaystyle \vert x_{i+1}-x^*\vert\leqslant c\vert x_i-x^*\vert^2\leqslant \dfrac{1}{c}(c\vert x_0-x^*\vert)^{2^{i+1}},$(9.2)
 


где $ c$ -- некоторая постоянная (не зависящая от $ i$). Если начальное приближение $ x_0$ взято достаточно близко от корня $ x^*$, то можно взять $ c=\dfrac{1}{\vert x_0-x^*\vert}$.

Заметим, что по сравнению с общей оценкой метода итераций

$\displaystyle \vert x_{i+1}-x^*\vert\leqslant {\gamma}\vert x_i-x^*\vert,$
Производная функции Додекаэдр - правильный двенадцатигранник, Такое поведение называется многозадачностью (multitasking) аксонометрические проекции

постоянная $ {\gamma}<1$ заменяется в оценке метода Ньютона (9.2) на стремящуюся к 0 величину $ c\vert x_i-x^*\vert$; отсюда и высокая скорость сходимости.

Скорость сходимости итераций, которая задаётся формулой (9.2), называется квадратичной. Квадратичная скорость сходимости означает, примерно говоря, что число верных знаков в приближённом значении $ x_i$ удваивается с каждой итерацией. Действительно, если $ c\approx1$, и $ \vert x_i-x^*\vert\approx10^{-n}$, то $ \vert x_{i+1}-x^*\vert\approx10^{-2n}$. Это и означает, что число верных знаков при переходе к следующему приближению возросло с $ n$ до $ 2n$, то есть удвоилось.

Геометрический смысл метода Ньютона состоит в том, что на каждом шаге мы строим касательную к графику $ y=f(x)$ в точке очередного последовательного приближения $ x_i$, а за следующее приближение $ x_{i+1}$ берём точку пересечения этой касательной с осью $ Ox$. Тем самым наклон прямой подстраивается на каждом шаге наилучшим образом (ведь кривизну графика, связанную с второй производной, мы не учитываем, и поэтому неизвестно, в какую сторону от касательной отклонится график).

Рис.9.13.Последовательные приближения метода Ньютона

Заметим, что по-другому идею метода Ньютона мы можем описать так: на каждом шаге вместо исходного уравнения $ f(x)=0$ мы решаем приближённое, линеаризованное в точке $ x_i$ уравнение

$\displaystyle f(x_i)+f'(x_i)(x-x_i)=0,$

в котором левая часть -- это многочлен Тейлора первого порядка для функции $ f(x)$ в точке $ x_i$, то есть линейная функция

$\displaystyle \ell_{x_i}(x)=f(x_i)+f'(x_i)(x-x_i).$

Решением линеаризованного уравнения $ \ell_{x_i}(x)=0$ служит следующее приближение $ x_{i+1}$, в то время как решением исходного точного уравнения $ f(x)=0$ служит искомый корень $ x^*$.

Идея замены точной (но сложной) задачи последовательностью более простых линеаризованных задач весьма продуктивна в приближённых методах; например, такая идея даёт эффективный способ решения многомерных задач с ограничениями (метод Франка - Вулфа в нелинейном программировании, см., например, [Киселёв В.Ю., Экономико-математические методы и модели. -- Иваново: изд. ИГЭУ, 1998]).

   

Компьютерная математика Mathematica электронный учебник

Методы программирования

Такие мощные системы, как Mathematica, предназначены, в основном, для решения математических задач без их программирования большинством пользователей. Однако это вовсе не означает, что Mathematica не является языком (или системой) программирования и не позволяет при необходимости программировать решение простых или сложных задач, для которых имеющихся встроенных функций и даже пакетов расширений оказывается недостаточно или которые требуют для реализации своих алгоритмов применения типовых программных средств, присущих обычным языкам программирования. Все обстоит совсем иначе. Примеры решения задач Объем тел вращения Интегральное исчисление. Решение произвольных систем линейных уравнений Как было сказано выше, матричный метод и метод Крамера применимы только к тем системам линейных уравнений, в которых число неизвестных равняется числу уравнений. Далее рассмотрим произвольные системы линейных уравнений. Замена переменной; интегрирование по частям Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Фактически, основой системы Mathematica является проблемно-ориентированный на математические расчеты язык программирования сверхвысокого уровня. По своим возможностям этот язык намного превосходит обычные универсальные языки программирования, такие как Фортран, Бейсик, Паскаль или С.

Важно подчеркнуть, что здесь речь идет о языке программирования системы Mathematica, а не о языке реализации самой системы. Языком реализации является универсальный язык программирования C++, показавший свою высокую эффективность в качестве языка системного программирования.

Закон Вина ;Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках драйверы режима ядра программное обеспечение необходимо для разработки и отладки драйверов Первый способ задания функции: табличный Степенная функция Обратные тригонометрические функции Определение непрерывности функции Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Производные функции, заданной параметрически Примеры исследования функций и построения графиков Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Тригонометрическая форма комплексного числа Изменить порядок интегрирования Вычислить двойной интеграл Вычисление тройных интегралов Сферические координаты Два основных метода интегрирования Замена переменных в двойном интеграле Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра