дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
Корпускулярные свойства света Пересечение плоскости с многогранником Исследование функции Пределы Производная График функции Векторная алгебра Линейные уравнения Матрицы Математический анализ Задачи на интеграл Интегральное исчисление Кратные интегралы Курсовые расчеты Инсталляции системы Запуск ОС Поддержка Plug and Play Интерфейс Панель управления Консоль управления Файловые системы FAT и FAT32 Информационные источники Сервер Web Работа в сетях Windows и Novell Интернет и почта Периферия и мультимедиа Работа с файлами Дополнительная конфигурация Конфигурирование X Windows Дистрибутив Служба удаленного доступа На главную Алгебраические уравнения

Конспект лекций по математике Метод хорд (метод линейной интерполяции) нахождение корней уравнения


 

Метод простых итераций во всех рассмотреннных вариантах использует для построения очередного приближения $ x_{i+1}$ только информацию о функции в одной лишь точке $ x_i$; при этом никак не используются предыдущие значения $ x_{i-1}, x_{i-2},\dots\;.$ Однако эту предыдущую информацию также можно использовать при нахождении $ x_{i+1}$. В качестве примера такого метода мы приведём метод, основанный на нахождении $ x_{i+1}$ по двум предыдущим приближениям $ x_i$ и $ x_{i-1}$ с помощью линейной интерполяции, называемый методом хорд.

Идея метода состоит в том, что по двум точкам $ M_{i-1}(x_{i-1};f(x_{i-1}))$ и $ M_i(x_i;f(x_i))$ построить прямую $ M_{i-1}M_i$ (то есть хорду, соединяющую две точки графика $ y=f(x)$) и взять в качестве следующего приближения $ x_{i+1}$ абсциссу точки пересечения этой прямой с осью $ Ox$. Иными словами, приближённо заменить на этом шаге функцию $ f(x)$ её линейной интерполяцией, найденной по двум значениям $ x$: $ x_{i-1}$ и $ x_i$. (Линейной интерполяцией функции $ f(x)$ назовём такую линейную функцию $ \ell(x)$, значения которой совпадают со значениями $ f(x)$ в двух фиксированных точках, в данном случае -- в точках $ x_{i-1}$ и $ x_i$.) Функции нескольких переменных ПРИМЕР . Выразить объем  цилиндра, радиус которого , высота , через эти переменные. Указать область определения функции. Ответ. , область определения – часть плоскости : Примеры решения и оформления задач контрольной работы

В зависимости от того, лежат ли точки $ x_{i-1}$ и $ x_i$ по разные стороны от корня $ x^*$ или же по одну и ту же сторону, получаем такие чертежи:

Рис.9.14.Построение последовательного приближения по методу хорд: два случая
Производная функции Додекаэдр - правильный двенадцатигранник, Такое поведение называется многозадачностью (multitasking) аксонометрические проекции

Итак, очередное последовательное приближение будет зависеть от двух предыдущих: $ x_{i+1}={\varphi}(x_{i-1};x_i)$. Найдём выражение для функции $ {\varphi}$.

Интерполяционную линейную функцию $ \ell(x)$ будем искать как функцию с угловым коэффициентом, равным разностному отношению

$\displaystyle k_i=\dfrac{f(x_i)-f(x_{i-1})}{x_i-x_{i-1}},$

построенному для отрезка между $ x_{i-1}$ и $ x_i$, график которой проходит через точку $ M_i$:

$\displaystyle \ell(x)=f(x_i)+\dfrac{f(x_i)-f(x_{i-1})}{x_i-x_{i-1}}(x-x_i).$

Решая уравнение $ \ell(x)=0$, находим

$\displaystyle x_{i+1}=\dfrac{x_{i-1}f(x_i)-x_if(x_{i-1})}{f(x_i)-f(x_{i-1})}= x_i-\dfrac{f(x_i)}{\dfrac{f(x_i)-f(x_{i-1})}{x_i-x_{i-1}}},$

то есть

$\displaystyle x_{i+1}=x_i-\dfrac{f(x_i)}{k_i}.$(9.3)
 


Заметим, что величина $ k_i$ может рассматриваться как разностное приближение для производной $ f'(x)$ в точке $ x_i$. Тем самым полученная формула (9.3) -- это разностный аналог итерационной формулы метода Ньютона.

Вычисление по формуле (9.3) гораздо предпочтительнее вычисления по другой полученной нами формуле

$\displaystyle x_{i+1}=\dfrac{x_{i-1}f(x_i)-x_if(x_{i-1})}{f(x_i)-f(x_{i-1})},$

хотя эти две формулы математически тождественны, поскольку при использовании формулы (9.3) в случае вычислений с округлениями (например, на компьютере) достигается меньшая потеря значащих цифр.

Имеются две разновидности применения формулы (9.3).

Первая разновидность: вычисления ведутся непосредственно по формуле (9.3) при $ i=1,2,3,\dots$, начиная с двух приближений $ x_0$ и $ x_1$, взятых, по возможности, поближе к корню $ x^*$. При этом не предполагается, что $ x^*$ лежит между $ x_0$ и $ x_1$ (и что значения функции $ f$ в точках $ x_0$ и $ x_1$ имеют разные знаки). При этом не гарантируется, что корень попадёт на отрезок между $ x_{i-1}$ и $ x_i$ на каком-либо следующем шаге (хотя это и не исключено). В таком случае затруднительно дать оценку погрешности, с которой $ x_{i+1}$ приближает истинное значение корня $ x^*$, и поэтому довольствуются таким эмпирическим правилом: вычисления прекращают, когда будет выполнено неравенство $ \vert x_{i+1}-x_i\vert<{\varepsilon}$, где $ {\varepsilon}$ -- желаемая точность нахождения корня. При этом полагают приближённое значение корня равным $ \wt x=x_{i+1}$.

 

Компьютерная математика Mathematica электронный учебник

Методы программирования

Такие мощные системы, как Mathematica, предназначены, в основном, для решения математических задач без их программирования большинством пользователей. Однако это вовсе не означает, что Mathematica не является языком (или системой) программирования и не позволяет при необходимости программировать решение простых или сложных задач, для которых имеющихся встроенных функций и даже пакетов расширений оказывается недостаточно или которые требуют для реализации своих алгоритмов применения типовых программных средств, присущих обычным языкам программирования. Все обстоит совсем иначе. Примеры решения задач Объем тел вращения Интегральное исчисление. Решение произвольных систем линейных уравнений Как было сказано выше, матричный метод и метод Крамера применимы только к тем системам линейных уравнений, в которых число неизвестных равняется числу уравнений. Далее рассмотрим произвольные системы линейных уравнений. Замена переменной; интегрирование по частям Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Фактически, основой системы Mathematica является проблемно-ориентированный на математические расчеты язык программирования сверхвысокого уровня. По своим возможностям этот язык намного превосходит обычные универсальные языки программирования, такие как Фортран, Бейсик, Паскаль или С.

Важно подчеркнуть, что здесь речь идет о языке программирования системы Mathematica, а не о языке реализации самой системы. Языком реализации является универсальный язык программирования C++, показавший свою высокую эффективность в качестве языка системного программирования.

Закон Вина ;Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках драйверы режима ядра программное обеспечение необходимо для разработки и отладки драйверов Первый способ задания функции: табличный Степенная функция Обратные тригонометрические функции Определение непрерывности функции Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Производные функции, заданной параметрически Примеры исследования функций и построения графиков Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Тригонометрическая форма комплексного числа Изменить порядок интегрирования Вычислить двойной интеграл Вычисление тройных интегралов Сферические координаты Два основных метода интегрирования Замена переменных в двойном интеграле Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра