Конспекты по математике Векторное произведение Векторная алгебра

Введем еще одну операцию над векторами. Эта операция существует только в трехмерном векторном пространстве, на плоскости она не определена.

Определение 10.26 Векторным произведением вектора a на вектор b назовем вектор c, удовлетворяющий условию
1) $ \vert{\bf c}\vert=\vert{\bf a}\vert\vert{\bf b}\vert\sin{\varphi}$ , где $ {\varphi}$ -- угол между a и b и, если $ \vert{\bf c}\vert\ne0$ , то еще двум условиям:
2) вектор c ортогонален векторам a и b;
3) из конца вектора c кратчайший поворот от вектора a (первого сомножителя) к вектору b (второму сомножителю) виден против часовой стрелки. (Начала векторов предполагаются совмещенными).

Замечание 10.5 Угол между векторами в пространстве всегда удовлетворяет условию $ 0\leqslant {\varphi}\leqslant \pi$ . Таким образом, $ \sin{\varphi}\geqslant 0$ . Если $ {\bf a}=0$ или $ {\bf b}=0$ , то считается, что векторное произведение равно 0.

Векторное произведение вектора a на вектор b обозначается $ {\bf a}\times{\bf b}$ или $ [{\bf a},{\bf b}]$ .

Предложение 10.18 Векторное произведение антикоммутативно, то есть
$\displaystyle {\bf a}\times{\bf b}=-{\bf b}\times{\bf a}.$
Интегрирование по частям ПРИМЕР 1. Вычислить . РЕШЕНИЕ. Выберем , и проведем вычисления согласно (*) (обращаем внимание на возможный вариант записи этих вычислений). Примеры решения и оформления задач контрольной работы

В другой формулировке: если изменить порядок сомножителей, то векторное произведение меняет направление на противоположное.

Доказательство. Пусть $ {\bf c}={\bf a}\times {\bf b}$ , $ {\bf d}={\bf b}\times {\bf a}$ . Нужно показать, что $ {{\bf c}=-{\bf d}}$ . Из условия 1 следует, что $ {\vert{\bf c}\vert=\vert{\bf d}\vert}$ . Если $ {\vert{\bf c}\vert=0}$ , то очевидно, что $ {{\bf c}=-{\bf d}}$ . Если $ {\vert{\bf c}\vert\ne0}$ , то векторы c и d-- коллинеарны, так как оба лежат на прямой, ортогональной плоскости векторов a и b. Таким образом, остаются только две возможности: $ {{\bf c}={\bf d}}$ или $ {{\bf c}=-{\bf d}}$ . Пусть вектор $ {{\bf d}={\bf b}\times {\bf a}}$ совпадает с вектором $ {{\bf c}={\bf a}\times {\bf b}}$ . Тогда в силу условия 3 из конца одного и того же вектора и поворот от a к b, и поворот от b к a по кратчайшему направлению виден против часовой стрелки, что невозможно. Следовательно, $ {{\bf c}=-{\bf d}}$ .


Решение задач по математике