Конспекты по математике Векторное произведение Векторная алгебра

Предложение 10.19 Векторное произведение ${\bf a}\times{\bf b}$ равно нулю тогда и только тогда, когда векторы a и b-- коллинеарные.

Доказательство. Из определения векторного произведения получим, что ${{\bf a}\times {\bf b}=0}$ тогда и только тогда, когда ${{\bf a}=0}$ , или ${{\bf b}=0}$ , или ${\sin {\varphi}=0}$ . Из последнего равенства получим, что ${{\varphi}=0}$ или ${{\varphi}=\pi}$ , в этом случае векторы a и b коллинеарны. Вспомнив, что нулевой вектор считается коллинеарным любому другому вектору, получим, что предложение верно и при a или b, равных нулю.

Предложение 10.20 Для любых векторов a и b и любого числа ${\lambda}$ выполняется равенство ${({\lambda}{\bf a})\times {\bf b}={\lambda}({\bf a}\times {\bf b})}$ .

Доказательство. Если ${\lambda}=0$ , то утверждение очевидно. Если векторы a и b-- коллинеарные, то векторы ${\lambda}{\bf a}$ и b-- тоже коллинеарные, и поэтому обе части доказываемого равенства равны нулю.

Пусть ${\lambda}>0$ , a, b-- неколлинеарные, ${{\bf c}=({\lambda}{\bf a})\times {\bf b}}$ , ${{\bf d}={\lambda}({\bf a}\times {\bf b})}$ . Тогда углы, образованные векторами a и b и векторами ${\lambda}{\bf a}$ и b, равны. Следовательно,

$\displaystyle \vert{\bf c}\vert=\vert{\lambda}{\bf a}\vert\vert{\bf b}\vert\sin... ...a}\times {\bf b}\vert={\lambda}\vert{\bf a}\vert\vert{\bf b}\vert\sin{\varphi},$ Проверить, является ли векторное поле силы

потенциальным или соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал и вычислить с помощью потенциала работу силы

при перемещении единичной массы из точки M(0,1,0) в точку N(–1,2,3). Примеры решения и оформления задач контрольной работы

то есть $\vert{\bf c}\vert=\vert{\bf d}\vert$ . Оба вектора c и d перпендикулярны плоскости векторов a и b и направлены одинаково, так как равны углы между сомножителями. Следовательно, ${{\bf c}={\bf d}}$ .

Пусть ${\lambda}<0$ . Тогда векторы ${\lambda}{\bf a},{\bf b}$ образуют угол $\psi, \psi=\pi-{\varphi}$ , рис. 10.25.

Рис.10.25.

Вычисляем модули:

$\displaystyle \vert{\bf c}\vert=\vert{\lambda}{\bf a}\vert\vert{\bf b}\vert\sin... ...\varphi})= \vert{\lambda}\vert\vert{\bf a}\vert\vert{\bf b}\vert\sin{\varphi},$

$\displaystyle \vert{\bf d}\vert=\vert{\lambda}\vert\vert{\bf a}\times {\bf b}\vert=\vert{\lambda}\vert\vert{\bf a}\vert\vert{\bf b}\vert\sin{\varphi},$

то есть $\vert{\bf c}\vert=\vert{\bf d}\vert$ . Векторы ${\bf a}\times {\bf b}, {\bf c}$ и d перпендикулярны плоскости векторов a и b. Векторы ${\bf a}\times{\bf b}$ и c имеют противоположные направления, так как поворот от a и от ${\lambda}{\bf a}$ к вектору b происходят в противоположных направлениях. Но вектор d имеет направление, противоположное вектору ${\bf a}\times{\bf b}$ (рис. 10.25) и, следовательно, одинаковое с вектором c. Получили, что ${\bf c}={\bf d}$ .

Предложение 10.21 Векторное произведение обладает свойством дистрибутивности, то есть ${{\bf a}\times ({\bf b}+{\bf c})={\bf a}\times {\bf b}+{\bf a}\times {\bf c}}$ .

Доказательство это свойства будет проведено позже.

С помощью векторного произведения можно найти площади параллелограмма и треугольника.

Предложение 10.22 Площадь параллеллограмма, сторонами которого служат векторы a и b, равна модулю их векторного произведения,

$\displaystyle S_{пар}=\vert{\bf a}\times {\bf b}\vert.$

Площадь треугольника со сторонами a, b вычисляется по формуле

$\displaystyle S_{\triangle}=\frac 12\vert{\bf a}\times {\bf b}\vert.$

Доказательство естественным образом вытекает из условия 1 в определении векторного произведения.

Отметим еще одну особенность векторного произведения, отличающую его от операции умножения чисел.

Предложение 10.23 Векторное произведение не является ассоциативным, то есть существуют такие векторы a, b, c, что ${({\bf a}\times {\bf b})\times {\bf c}\ne{\bf a}\times ({\bf b}\times {\bf c})}$ .

Доказательство. Пусть a и b-- любые неколлинеарные векторы, ${{\bf c}={\bf b}}$ . Тогда вектор ${{\bf a}\times {\bf b}\ne0}$ , кроме того, этот вектор ортогонален плоскости векторов a и b. Таким образом, векторы ${\bf a}\times{\bf b}$ и c-- неколлинеарные, поэтому ${({\bf a}\times {\bf b})\times {\bf c}\ne0}$ . С другой стороны, ${{\bf b}\times {\bf c}={\bf b}\times {\bf b}=0}$ по предложению 10.19. Поэтому ${{\bf a}\times ({\bf b}\times {\bf c})=0}$ . Получили, что ${({\bf a}\times {\bf b})\times {\bf c}\ne{\bf a}\times ({\bf b}\times {\bf c})}$ .

Компьютерная математика Mathematica электронный учебник

Структура систем Mathematica и их идеология

Следует отметить, что скромные (в смысле аппаратных требований) версии системы Mathematica 2.2.2 по сей день производятся фирмой Wolfram и используются в основном в системе образования. Они продаются по ценам в несколько раз меньшим, чем последующие реализации 3 и 4. Сейчас версии системы для IBM-совместимых ПК Mathematica 2, 3 и 4 распространяются в России на оптических дисках. Это намного повышает их доступность, хотя нередки случаи поставки не вполне работоспособных систем на дисках сомнительного происхождения. Примеры решения задач Примеры Интегрирование по частям Математика примеры вычислений интегралов Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике Интегрирование рациональных функций Для того, чтобы проинтегрировать рациональную дробь (многочлен в числителе, многочлен в знаменателе), обычно нужно ее упростить (как вы помните, это значит – представить в виде суммы).

Центральное место в системах класса Mathematica занимает машинно-независимое ядро математических операций — Kernel. Для ориентации системы на конкретную машинную платформу служит программный интерфейсный процессор Front End. Именно он определяет, какой вид имеет пользовательский интерфейс системы. В этой главе далее будет описан интерфейсный процессор для ПК с массовыми операционными системами Windows 95/98/NT. Разумеется, интерфейсные процессоры систем Mathematica для других платформ могут иметь свои нюансы, но особых различий с описанным интерфейсным процессором у них нет.

Любопытны данные об объеме ядра разных реализаций системы Mathematica, приведенные в книге Стивена Вольфрама:

Закон Вина ;Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках драйверы режима ядра программное обеспечение необходимо для разработки и отладки драйверов Первый способ задания функции: табличный Степенная функция Обратные тригонометрические функции Определение непрерывности функции Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Производные функции, заданной параметрически Примеры исследования функций и построения графиков Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Тригонометрическая форма комплексного числа Изменить порядок интегрирования Вычислить двойной интеграл Вычисление тройных интегралов Сферические координаты Два основных метода интегрирования Замена переменных в двойном интеграле Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра