дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
Корпускулярные свойства света Пересечение плоскости с многогранником Исследование функции Пределы Производная График функции Векторная алгебра Линейные уравнения Матрицы Математический анализ Задачи на интеграл Интегральное исчисление Кратные интегралы Курсовые расчеты Инсталляции системы Запуск ОС Поддержка Plug and Play Интерфейс Панель управления Консоль управления Файловые системы FAT и FAT32 Информационные источники Сервер Web Работа в сетях Windows и Novell Интернет и почта Периферия и мультимедиа Работа с файлами Дополнительная конфигурация Конфигурирование X Windows Дистрибутив Служба удаленного доступа На главную Алгебраические уравнения

Конспекты по математике Композиция функций Функции и их графики


Если даны два отображения $ {f:X\to U_1}$ и $ {g:U_2\to Y}$, где $ U_2\sbs U_1$, то имеет смысл "сквозное отображение" $ {x\mapsto u\mapsto y}$ из $ X$ в $ Y$, заданное формулой $ y=g(f(x))$, $ x\in X$, которое называется композицией функций $ f$ и $ g$ и обозначается $ g\circ f$.

Рис.1.30.Сквозное отображение $ x\mapsto u\mapsto y$ из $ X$ в $ Y$

Таким образом, $ g\circ f:X\to Y$, $ (g\circ f)(x)=g(f(x))$ при всех $ x\in X$. Другое название композиции-- сложная функция (так как сквозное отображение $ g\circ f:x\mapsto u\mapsto y$ "сложено" из отображений $ f:x\mapsto u$ и $ g:u\mapsto y$).

Пример 1.18 Пусть $ f(x)=\sin x$, $ x\in X=[0;\frac{\pi}{2}]$, и $ g(u)=\sqrt{1-u^2}$, $ u\in U_2=[-1;1]$. Тогда $ \mathcal{E}(f)=[-1;1]=U_2$, и определена композиция
$\displaystyle h(x)=(g\circ f)(x)=\sqrt{1-\sin^2x}=\cos x.$
Иногда формула позволяет искомый интеграл выразить через некоторые функции и этот же интеграл. Полученное равенство является уравнением относительно искомого интеграла. Решив это уравнение, вычислим интеграл. Интегралы такого типа называют возвратными. Примеры решения и оформления задач контрольной работы

Упражнение 1.3 Покажите, что если заменить множество $ X$ в предыдущем примере на $ X=[-\frac{\pi}{2};0]$, то композиция $ g\circ f$ снова будет определена, но равна теперь $ -\cos x$, а не $ \cos x$.

Пример 1.19 Пусть $ f(x)=x+\frac{\pi}{2}$, $ x\in X=\mathbb{R}$, и $ g(u)=\sin u$, $ u\in U_2=\mathbb{R}$. Тогда определена композиция $ g\circ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, заданная формулой $ y=g(f(x))=\sin(x+\frac{\pi}{2})$. По известной формуле приведения полученная композиция-- это косинус: $ (g\circ f)(x)=\cos x$ при всех $ x\in\mathbb{R}$.

Замечание 1.5 Даже если для функций $ f$ и $ g$ имеют смысл обе композиции $ {h_1=f\circ g}$ и $ {h_2=g\circ f}$ (что бывает далеко не для любой пары функций $ f$ и $ g$), то функции $ h_1$ и $ h_2$ не обязаны совпадать; как правило, это не так.

Пример 1.20 Пусть $ f(x)=x^2$ и $ g(x)=\sin x$, $ X=U_1=U_2=Y=\mathbb{R}$. Тогда $ h_1(x)=f(g(x))=\sin^2x$, а $ h_2(x)=g(f(x))=\sin(x^2)$. Очевидно, что это разные функции: $ \sin^2x\geqslant 0$ при всех $ x\in\mathbb{R}$, а $ \sin(x^2)$ принимает значение $ -1$, например, при $ x=\sqrt{\frac{3\pi}{2}}$.

Применяя композицию функций, которые сами могут получаться как композиции, мы можем получать сложные функции вида $ h(g(f(x)))$ и более длинные композиции.

 

Компьютерная математика Mathematica электронный учебник

Структура систем Mathematica и их идеология

Следует отметить, что скромные (в смысле аппаратных требований) версии системы Mathematica 2.2.2 по сей день производятся фирмой Wolfram и используются в основном в системе образования. Они продаются по ценам в несколько раз меньшим, чем последующие реализации 3 и 4. Сейчас версии системы для IBM-совместимых ПК Mathematica 2, 3 и 4 распространяются в России на оптических дисках. Это намного повышает их доступность, хотя нередки случаи поставки не вполне работоспособных систем на дисках сомнительного происхождения. Примеры решения задач Примеры Интегрирование по частям Математика примеры вычислений интегралов Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике Интегрирование рациональных функций Для того, чтобы проинтегрировать рациональную дробь (многочлен в числителе, многочлен в знаменателе), обычно нужно ее упростить (как вы помните, это значит – представить в виде суммы).

Центральное место в системах класса Mathematica занимает машинно-независимое ядро математических операций — Kernel. Для ориентации системы на конкретную машинную платформу служит программный интерфейсный процессор Front End. Именно он определяет, какой вид имеет пользовательский интерфейс системы. В этой главе далее будет описан интерфейсный процессор для ПК с массовыми операционными системами Windows 95/98/NT. Разумеется, интерфейсные процессоры систем Mathematica для других платформ могут иметь свои нюансы, но особых различий с описанным интерфейсным процессором у них нет.

Любопытны данные об объеме ядра разных реализаций системы Mathematica, приведенные в книге Стивена Вольфрама:

Закон Вина ;Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках драйверы режима ядра программное обеспечение необходимо для разработки и отладки драйверов Первый способ задания функции: табличный Степенная функция Обратные тригонометрические функции Определение непрерывности функции Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Производные функции, заданной параметрически Примеры исследования функций и построения графиков Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Тригонометрическая форма комплексного числа Изменить порядок интегрирования Вычислить двойной интеграл Вычисление тройных интегралов Сферические координаты Два основных метода интегрирования Замена переменных в двойном интеграле Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра