Формула Тейлора представления числовой функции многочленом

Теория и задачи на вычисления пределов

Пределы при разных условиях. Некоторые частные случаи

Пример Пусть и рассматривается функция . Покажем, что

Пример Покажем, что предел последовательности равен 0.

Общее определение предела

• Примеры решения задач Подстановки Эйлера Метод неопределенных коэффициентов Интегральное исчисление.

Пример

Замена переменного и преобразование базы при такой замене Часто при вычислении какого-либо предела естественно для упрощения выражения, от которого берётся предел, сделать некоторую замену переменного. Пусть, например, требуется вычислить Тогда естественно с целью упрощения сделать замену : при этом функция, от которой берётся предел, упростится и будет иметь вид . Однако при этом нужно знать, как изменится база предела: что мы должны написать вместо под знаком предела от функции ? Искусство Крита В начале II тысячелетия до н. э. на Крите строили много дворцов. Каждый из них представлял собой большую группу построек, возведённых вокруг внутреннего двора и предназначенных как для религиозных (сакральных), так и светских надобностей. Дворец мог служить резиденцией правителя города и центром управления всей областью. Он был одновременно и городом, и крепостью, а существовал за счёт сельской округи и труда ремесленников, живших в самом дворце Лекции по физике , математике, информатике примеры решения задач.

• Пример Диэлектрические материалы Электротехнические и конструктивные материалы
• Пример
• Проверить, является ли векторное поле силы  потенциальным или соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал и вычислить с помощью потенциала работу силы  при перемещении единичной массы из точки M(0,1,0) в точку N(–1,2,3). Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике

Бесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства

• Пример
• Пример
• Пример
• Проверить, является ли векторное поле силы  потенциальным или соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал и вычислить с помощью потенциала работу силы  при перемещении единичной массы из точки M(0,1,0) в точку N(–1,2,3). Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике

Общие свойства пределов В этом разделе мы на основе изученных выше свойств бесконечно малых величин (то есть функций, имеющих предел, равный 0) выясним свойства функций, имеющих произвольное значение предела.

• Замечание
• примеры
• примеры
• Упражнение
• Следствие

Первый и второй замечательные пределы

• Пример
• Теорема
• Упражнение

Бесконечно большие величины и бесконечные пределы

Определение 2.13  Пусть функция определена на некотором окончании базы и имеет следующее свойство:
для любого, как угодно большого, положительного числа можно найти такое окончание базы , что при любом будет выполнено неравенство

Пример

Использование непрерывности функций при вычислении пределов

• Определения
• Примеры

Сравнение бесконечно малых Пусть фиксирована некоторая база и на некотором её окончании заданы две функции и , бесконечно малые при базе . Предположим также, что при всех . Пусть существует

• Пример
• Пример
• Примеры

Таблица эквивалентных бесконечно малых при

Пример

Упражнения на вычисление пределов

Формула Тейлора представления числовой функции многочленом

Многочлен Тейлора Многочлен , наиболее подходящий (с некоторой точки зрения) для этой цели, называется многочленом Тейлора для данной функции; найдя его по заданной функции , мы сможем вместо сложного вычисления значений функции приближённо заменять это вычисление на вычисление значений многочлена .

Коэффициенты Тейлора

Остаток в формуле Тейлора и его оценка

Остаток в формуле Тейлора в форме Лагранжа

Формула Тейлора для некоторых элементарных функций

Упражнение

Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Используя оценку остаточного члена в форме Лагранжа, можно провести анализ погрешности в формулах приближённого дифференцирования, предполагая шаг малым.

Примеры

Математический анализ Лекции, конспекты, примеры решения задач

Линейная алгебра.

Основные определения

Операция умножения матриц

примеры

Определители ( детерминанты)

примеры

Элементарные преобразования

Cвойства обратных матриц

Базисный минор матрицы. Ранг матрицы.

Матричный метод решения систем линейных уравнений

Метод Крамера

примеры

Решение произвольных систем линейных уравнений

Элементарные преобразования систем

Метод Гаусса