Система координат и координаты вектора Уравнение плоскости

Определение вектора Наиболее абстрактное понятие вектора будет введено в главе 16. Здесь же мы ограничимся определением, соответствующим наглядному представлению о векторе, известному из школьного курса математики.

Определение 10.1 Вектором называется направленный отрезок.

Таким образом, вектор-- это отрезок, у которого выделен один конец, называемый концом вектора. Этот конец на рисунке обозначается стрелкой. Другой конец отрезка называется началом вектора.

Операции над векторами Примеры решения задач Интегрирование некоторых иррациональных функций Интегральное исчисление.

Разложение вектора по базису Множество векторов на прямой назовем одномерным векторным пространством, множество векторов на плоскости-- двумерным векторным пространством, в пространстве-- трехмерным векторным пространством.

Легко проверить, что если -- какое-то векторное пространство, , -- число, то и . Храм в Дейр Эль-Бархи Величайшими сооружениями эпохи Нового царства стали храмы, или "дома" богов. Один из них - заупокойный храм царицы Хатшепсут (1525 - 1503 гг. до н. э.), посвящённый богине Хатор, в Дейр эль-Бахри в Фивах, на западном берегу Нила (начало XV в. до н, э.). Культ Хатор, дочери бога Ра, богини любви, музыки и танца, глубоко почитался египтянами.

Рассмотрим пример на нахождение координат вектора

Линейная зависимость векторов

Дана функция комплексной переменной , где z = x + iy, и точка z0 = – 1 + 3i. Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике Диэлектрические потери Электротехнические и конструктивные материалы

Система координат и координаты вектора

Проекции вектора Здесь и в дальнейшем под словами "проекция точки" или "проекция вектора" всегда будем понимать ортогональную проекцию. Лекции по физике, математике, информатике примеры решения задач

Пусть в пространстве задана некоторая ось , то есть прямая, на которой отмечена фиксированная точка и заданы направление и единица длины. Тогда каждой точке оси соответствует некоторое число.

Определение Проекцией точки на ось называется число, соответствующее основанию перпендикуляра , опущенного на ось из точки .

Определение Проекцией вектора на ось называется разность проекций конца вектора и его начала.

Проекция на ось суммы векторов равна сумме их проекций

Скалярное произведение

Теорема  

Векторное произведение

Введем еще одну операцию над векторами. Эта операция существует только в трехмерном векторном пространстве, на плоскости она не определена.

Определение Векторным произведением вектора a на вектор b назовем вектор c, удовлетворяющий условию

1) , где -- угол между a и b и, если , то еще двум условиям:

2) вектор c ортогонален векторам a и b;

3) из конца вектора c кратчайший поворот от вектора a (первого сомножителя) к вектору b (второму сомножителю) виден против часовой стрелки. (Начала векторов предполагаются совмещенными).

Выражение векторного произведения через координаты сомножителей

Смешанное произведение

Смешанное произведение линейно по каждому аргументу

Нахождение координат вектора в произвольном базисе

Линия и плоскость в пространстве

Уравнение поверхности

Уравнение плоскости

Теорема Всякое уравнение(11.3), в котором , является уравнением плоскости, ортогональной вектору .

Изображение плоскости

Все коэффициенты и свободный член в уравнении отличны от нуля

В этом случае находим точки пересечения плоскости с осями координат. Например, пусть требуется построить плоскость, заданную уравнением . Находим точку пересечеия с осью . На этой оси у любой точки вторая и третья координаты равны нулю: , . Из уравнения плоскости получаем , откуда . Получили точку .

На оси равны нулю первая и третья координаты: , . Значит, , то есть . Получили точку . Аналогично на оси находим точку . Рисуем треугольник с вершинами , ,  -- это и будет "изображение" плоскости

Коэффициенты при неизвестных отличны от нуля, а свободный член равен нулю

Один из коэффициентов при неизвестных равен нулю

Два коэффициента при переменных равны нулю

Угол между плоскостями

Пусть плоскости и заданы соответственно уравнениями и . Требуется найти угол между этими плоскостями.

Плоскости, пересекаясь, образуют четыре двугранных угла (рис. 11.6): два тупых и два острых или четыре прямых, причем оба тупых угла равны между собой, и оба острых тоже равны между собой. Мы всегда будем искать острый угол. Для определения его величины возьмем точку на линии пересечения плоскостей и в этой точке в каждой из плоскостей проведем перпендикуляры и к линии пересечения. Нарисуем также нормальные векторы и плоскостей и с началами в точке

Расстояние от точки до плоскости

Прямая на плоскости Прямая на плоскости и плоскость в пространстве обладают тем общим свойством, что дополнительная размерность равна единице. Другими словами, что все нормальные векторы к плоскости являются коллинеарными и все нормальные векторы к прямой на плоскости тоже коллинеарны. Отметим, что прямая в пространстве этим свойством не обладает. Нормальные векторы к ней, если их начала поместить в одну точку, "заполняют" целую плоскость. Так как формулы(11.1), (11.3), (11.4), (11.5), (11.6), (11.7) основывались на нормальном векторе к плоскости, то они остаются верными и для прямой на плоскости, если из них исключить третью координату. Доказательство этих формул для прямой на плоскости полностью повторяет их доказательство для плоскости в пространстве.

Прямая в пространстве

Замечание

Основные задачи на прямую и плоскость

Пример Найдите точку пересечения прямой и плоскости .

Даны уравнения двух прямых. Требуется найти угол между этими прямыми.

Пример Найдите точку , симметричную точке относительно прямой :

Математический анализ Лекции, конспекты, примеры решения задач

Топологическое произведение пространств  Определение. Множество E´F, превращенное в топологическое пространство только что описанным способом, называется топологическим произведением пространств E и F.

Уравнение линии на плоскости Как было сказано выше, матричный метод и метод Крамера применимы только к тем системам линейных уравнений, в которых число неизвестных равняется числу уравнений. Далее рассмотрим произвольные системы линейных уравнений.

 Определение. Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом:   , (1) где a_ij – коэффициенты, а b_i – постоянные. Решениями системы являются n чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество.  

Определение. Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.    

Определение. Система называется определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если более одного.

Определение. Для системы линейных уравнений вида (1) матрица А =  называется матрицей системы, а матрица А^*=  называется расширенной матрицей системы  

Определение. Если b₁, b₂, …,b_m = 0, то система называется однородной. однородная система всегда совместна.

Уравнение прямой по точке и вектору нормали

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору

Нормальное уравнение прямой

Угол между прямыми на плоскости

примеры

Кривые второго порядка.

Гипербола

Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами

Пример

Парабола