Параллельный перенос системы координат Системы линейных уравнений

Электротехника
Лабораторные работы
Примеры расчета типовых задач
Расчетно-графическая работа
Электрические цепи постоянного и переменного тока
Расчеты цепей постоянного и переменного тока
Основные законы электрических цепей
Расчет простых цепей постоянного тока
Расчёт сложной цепи методом контурных токов
Электрические цепи переменного тока
Расчёт цепей переменного тока
Трехфазная цепь переменного тока
Расчет трехфазной цепи при соединении потребителей звездой
Нелинейные электрические цепи постоянного тока
Магнитные цепи
Трансформаторы
Расчёт параметров трёхфазного трансформатора
Работа асинхронной машины при вращающемся роторе
Выпрямители переменного тока

Трехфазная схема выпрямления с нулевой точкой

Сопромат
Сопротивление материалов
Расчетно-графическое задание
Машиностроительное черчение
Математика
Математический анализ
Функции и их графики
Теория и задачи на вычисления пределов
Примеры решения задач на вычисление производной и дифференциала
Возрастание и убывание функции
Система координат
Системы линейных уравнений
Матрицы
Курсовая по Кузнецову
Задачи по мат. анализу
Интегральное исчисление
Кратные интегралы. Двойной интеграл
Примеры решения задач типового расчета
Энергетика
Технологическое оборудование АС с реактором РБМК 1000
Физика
Элементы квантовой механики
Кинематика примеры задач
Молекулярные спектры
Полупроводники
Ядерная физика
Лекции и задачи по физике
Физические основы термодинамики
Лабораторная работа
Деление кристаллов на диэлектрики, металлы и полупроводники
Атомная физика
Закон радиоактивного распада
Задача
Уравнение динамики поступательного движения тела
Мерой инертности твердого тела
Точка совершает гармоническое колебание
Средняя кинетическия энергия
Изотермическое расширение
Идеальный 3х атомный газ
Информатика
Концепция организации локальных сетей
Типы глобальных сетей
Помехоустойчивые коды
История искусства
Введение в историческое изучение искусства
Печатная графика
Скульптура
Архитектура
 

 

Кривые второго порядка

Окружность

Начнем с определения окружности, известного из школьного курса математики.

Определение Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром окружности. Лекции по физике, математике, информатике примеры решения задач

Получим уравнение окружности, если известны ее центр и радиус.

Эллипс Определение   Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек той же плоскости, назывемых фокусами эллипса, есть величина постоянная.        Амарнский период В XIV а до н. э. фараон Аменхотеп IV (1368 - около 1351 гг. до н. э.) провел религиозную реформу, оказавшую существенное влияние на искусство Нового царства. Стремясь ослабить власть жрецов и укрепить свою собственную, фараон запретил все многочисленные старые культы. Единственным и истинным богом был провозглашён Атон - само сияющее на небе солнце.    Примеры решения задач Интегрирование рациональных функций Интегральное исчисление.

Для эллипса можно дать еще несколько эквивалентных определений. Желающие могут познакомиться с ними в более серьезных учебниках по аналитической геометрии. Здесь же отметим только то, что эллипс -- это кривая, получающаяся как проекция на плоскость $ \Pi$ окружности, лежащей в плоскости, которая образует острый угол с плоскостью $ \Pi$ .

Пример Найти интеграл . Решение. Сделаем подстановку:      

В отличие от окружности, записать в "удобном" виде уравнение эллипса в произвольной системе координат не удается. Поэтому для фиксированного эллипса приходится подбирать систему координат так, чтобы его уравнение было достаточно простым.

Дана функция двух переменных: z = x2 – xy + y2 – 4x + 2y + 5 и уравнения границ замкнутой области D на плоскости xОy: x = 0, y = –1, x + y = 3. Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике Жидкие диэлектрики Электротехнические и конструктивные материалы

Предложение Эллипс обладает двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии, на одной из которых находятся его фокусы, и центром симметрии. Если эллипс задан каноническим уравнением (12.4), то его осями симметрии служат оси $ Ox$ и $ Oy$ , начало координат -- центр симметрии.

Гипербола

Парабола В школьном курсе математики достаточно подробно изучалась парабола, которая, по определению, являлась графиком квадратного трехчлена. Здесь мы дадим другое (геометрическое) определение параболы.  Определение Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых расстояние до фиксированной точки этой плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до фиксированной прямой, лежащей в той же плоскости и называемой директрисой параболы.         

Пример   Постройте параболу $ y^2=3x$ . Найдите ее фокус и директрису.

Параллельный перенос системы координат

 Пример   Нарисуйте кривую $ {x^2+9y^2-4x+18y+4=0}$ и найдите ее фокусы.

Пример   Постройте кривую $\displaystyle x+1+\sqrt{2-2y^2+4y}=0.$

Поверхности второго порядка

Линейные пространства уравнения

Системы линейных уравнений

Алгебраические структуры

    Группы

            Определение Группой называется непустое множество $ \mathfrak{G}$ , на котором задана некоторая операция, обладающая следующими свойствами:
    1. для любых $ \mathfrak{a},\,\mathfrak{b},\,\mathfrak{c}\in\mathfrak{G}$ выполнено
      $\displaystyle (\mathfrak{a}\propto\mathfrak{b})\propto\mathfrak{c}=\mathfrak{a}\propto(\mathfrak{b}\propto\mathfrak{c})
$
      (свойство ассоциативности);
    2. существует такой элемент $ \mathfrak{e}$ , $ \mathfrak{e}\in \mathfrak{G}$ , что для любого элемента $ \mathfrak{a}$ , $ \mathfrak{a}\in \mathfrak{G}$ , выполнено
      $\displaystyle \mathfrak{a}\propto\mathfrak{e}=\mathfrak{a}$
      (существование единицы или нуля);
    3. для любого элемента $ \mathfrak{a}$ , $ \mathfrak{a}\in \mathfrak{G}$ , существует такой элемент $ \tilde\mathfrak{a}$ , $ \tilde\mathfrak{a}\in\mathfrak{G}$ , что
      $\displaystyle \mathfrak{a}\propto\tilde\mathfrak{a}=\mathfrak{e}$
      (существование обратного элемента).

    Пример

    Кольца

    Пример

    Поля

Многомерные пространства

Линейные преобразования

Определение и примеры

Пример

Упражнение

Матрица линейного преобразования

В  примере 19.4 было показано, что преобразование $ n$ -мерного пространства, заключающееся в умножении координатных столбцов векторов на фиксированную матрицу, является линейным преобразованием. В этом разделе мы покажем, что все линейные преобразования конечномерного пространства устроены таким же образом.

Пусть $ L$  -- $ n$ -мерное линейное пространство, в котором задан базис $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$ , $ \mathcal{A}$  -- линейное преобразование. Возьмем произвольный вектор $ x$ . Пусть $ {{\alpha}=\left(\begin{array}{c}{\alpha}_1\\ \vdots\\ {\alpha}_n\end{array}\right)}$  -- его координатный столбец. Координатный столбец вектора $ {\mathcal{A}(x)}$ обозначим $ {\beta}$ .

Запишем разложение вектора $ x$ по базису пространства $ {x={\alpha}_1e_1+{\alpha}_2e_2+\ldots+{\alpha}_ne_n}$ .

Пример

Изменение матрицы линейного преобразования при изменении базиса

Собственные числа и собственные векторы

Пример

Нахождение собственных чисел и собственных векторов матриц

Пример Найдите собственные числа и собственные векторы матрицы $\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr}1&-3&4\\ 4&-7&8\\ 6&-7&7\end{array}\right).$

Матрица линейного преобразования в базисе из собственных векторов

 Теорема

Теорема     

Пример   Приведите уравнение поверхности $\displaystyle x^2+5y^2+z^2+2xy+6xz+2yz-2x+6y+2z=0$

Решение задач по математике