Параллельный перенос системы координат Системы линейных уравнений

Кривые второго порядка

Окружность

Начнем с определения окружности, известного из школьного курса математики.

Определение Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром окружности. Лекции по физике, математике, информатике примеры решения задач

Получим уравнение окружности, если известны ее центр и радиус.

Эллипс Определение   Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек той же плоскости, назывемых фокусами эллипса, есть величина постоянная.        Амарнский период В XIV а до н. э. фараон Аменхотеп IV (1368 - около 1351 гг. до н. э.) провел религиозную реформу, оказавшую существенное влияние на искусство Нового царства. Стремясь ослабить власть жрецов и укрепить свою собственную, фараон запретил все многочисленные старые культы. Единственным и истинным богом был провозглашён Атон - само сияющее на небе солнце.    Примеры решения задач Интегрирование рациональных функций Интегральное исчисление.

Для эллипса можно дать еще несколько эквивалентных определений. Желающие могут познакомиться с ними в более серьезных учебниках по аналитической геометрии. Здесь же отметим только то, что эллипс -- это кривая, получающаяся как проекция на плоскость окружности, лежащей в плоскости, которая образует острый угол с плоскостью .

В отличие от окружности, записать в "удобном" виде уравнение эллипса в произвольной системе координат не удается. Поэтому для фиксированного эллипса приходится подбирать систему координат так, чтобы его уравнение было достаточно простым.

Дана функция двух переменных: z = x2 – xy + y2 – 4x + 2y + 5 и уравнения границ замкнутой области D на плоскости xОy: x = 0, y = –1, x + y = 3. Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике Жидкие диэлектрики Электротехнические и конструктивные материалы

Предложение Эллипс обладает двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии, на одной из которых находятся его фокусы, и центром симметрии. Если эллипс задан каноническим уравнением (12.4), то его осями симметрии служат оси и , начало координат -- центр симметрии.

Гипербола

Парабола В школьном курсе математики достаточно подробно изучалась парабола, которая, по определению, являлась графиком квадратного трехчлена. Здесь мы дадим другое (геометрическое) определение параболы.  Определение Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых расстояние до фиксированной точки этой плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до фиксированной прямой, лежащей в той же плоскости и называемой директрисой параболы.         

Пример   Постройте параболу . Найдите ее фокус и директрису.

Параллельный перенос системы координат

 Пример   Нарисуйте кривую и найдите ее фокусы.

Пример   Постройте кривую

Поверхности второго порядка

Сфера Определение Сферой называется геометрическое место точек пространства, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром.

Эллипсоид

Определение Эллипсоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид где , , -- положительные числа.

Сечения эллипсоида координатными плоскостями

Гиперболоиды

Определение

Конус

Параболоиды

Определение

Цилиндры

Параллельный перенос системы координат

 Пример Нарисуйте поверхность .

Линейные пространства уравнения

Системы линейных уравнений

Правило Крамера

Пример   Решите систему уравнений

Существование решения системы линейных уравнений общего вида

       Определение Система  называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной -- в противном случае, то есть в случае, когда решений у системы нет.         

Вопрос о том, имеет ли система решение или нет, связан не только с соотношением числа уравнений и числа неизвестных. Например, система из трех уравнений с двумя неизвестными

Теорема Кронекера-Капелли

Однородная система уравнений

 Предложение Однородная система уравнений всегда является совместной.

Структура решений неоднородной системы линейных уравнений

Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса) Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными . Требуется найти ее общее решение, если она совместна, или установить ее несовместность. Метод, который будет изложен в этом разделе, близок к методу вычисления определителя 5.1.с и к методу нахождения ранга матрицы (раздел 5.8). Предлагаемый алгоритм называется методом Гаусса или методом последовательного исключения неизвестных.

• Примеры
• Найдите общее решение системы уравнений
• Найдите фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы линейных уравнений

Алгебраические структуры

Группы

        Определение Группой называется непустое множество , на котором задана некоторая операция, обладающая следующими свойствами:

1. для любых выполнено
   
   (свойство ассоциативности);
2. существует такой элемент , , что для любого элемента , , выполнено
   
   (существование единицы или нуля);
3. для любого элемента , , существует такой элемент , , что
   
   (существование обратного элемента).

Пример

Кольца

Пример

Поля

Многомерные пространства

Линейные пространства

Определение и примеры

Базис и размерность пространства

Теорема

Координаты векторов

Изменение координат вектора при изменении базиса

Пример

Евклидово пространство

Пример

Аффинное -мерное пространство

Линейные преобразования

Определение и примеры

Пример

Упражнение

Матрица линейного преобразования

В  примере 19.4 было показано, что преобразование -мерного пространства, заключающееся в умножении координатных столбцов векторов на фиксированную матрицу, является линейным преобразованием. В этом разделе мы покажем, что все линейные преобразования конечномерного пространства устроены таким же образом.

Пусть  -- -мерное линейное пространство, в котором задан базис ,  -- линейное преобразование. Возьмем произвольный вектор . Пусть  -- его координатный столбец. Координатный столбец вектора обозначим .

Запишем разложение вектора по базису пространства .

Пример

Изменение матрицы линейного преобразования при изменении базиса

Собственные числа и собственные векторы

Пример

Нахождение собственных чисел и собственных векторов матриц

Пример Найдите собственные числа и собственные векторы матрицы

Матрица линейного преобразования в базисе из собственных векторов

 Теорема

Теорема     

Пример   Приведите уравнение поверхности

Математический анализ Лекции, конспекты, примеры решения задач

Элементы комбинаторики

Бином Ньютона. (полиномиальная формула)

 Бином Ньютона – это формула, выражающая выражение (a + b)ⁿ  в виде многочлена. Эта формула имеет вид:

Пример

Элементы математической логики

 Математическая логика – разновидность формальной логики, т.е. науки, которая изучает умозаключения с точки зрения их формального строения.

Конъюнкция Дизъюнкция

Импликация Эквиваленция

Примеры

Булевы функции

 Определение. Булевой функцией  f(X₁, X₂, …, X_n) называется называется произвольная n – местная функция, аргументы и значения которой принадлежат множеству {0, 1}.

Исчисление предикатов

Конечные графы и сети. Основные определения

 Определение. Если на плоскости задать конечное множество V точек и конечный набор линий Х, соединяющих некоторые пары из точек V, то полученная совокупность точек и линий будет называться графом.

 При этом элементы множества V называются вершинами графа, а элементы множества Х – ребрами.

 В множестве V могут встречаться одинаковые элементы, ребра, соединяющие одинаковые элементы называются петлями. Одинаковые пары в множестве Х называются кратными (или параллельными) ребрами. Количество одинаковых пар

(v, w) в Х называется кратностью ребра (v, w).

 Множество V и набор Х определяют граф с кратными ребрами – псевдограф.

Матрицы графов

Примеры

Достижимость и связность.

Деревья и циклы

Элементы топологии

Открытые и замкнутые множества

Непрерывные отображения

Топологические произведения

Введение в математический анализ

Числовая последовательность

  Определение. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число х_n, то говорят, что задана последовательность x_1, х₂, …, х_n = {x_n} 

Определение

Ограниченные и неограниченные последовательности

Монотонные последовательности

Число е

Связь натурального и десятичного логарифмов

Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности

Основные теоремы о пределах

Бесконечно малые функции

Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми

Свойства эквивалентных бесконечно малых

Некоторые замечательные пределы

Пример

Непрерывность функции в точке

Непрерывность некоторых элементарных функций

Точки разрыва и их классификация

Свойства функций, непрерывных на отрезке

Пример