Параллельный перенос системы координат Системы линейных уравнений

Линейные пространства уравнения

Правило Крамера

Пример Решите систему уравнений $\left\{\begin{array}{l}2x_1-x_2+x_3=1,\\ 3x_1+x_2+5x_3=-3, \\ 5x_1+3x_3=2.\end{array}\right.$

Существование решения системы линейных уравнений общего вида

Определение Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной -- в противном случае, то есть в случае, когда решений у системы нет.

Вопрос о том, имеет ли система решение или нет, связан не только с соотношением числа уравнений и числа неизвестных. Например, система из трех уравнений с двумя неизвестными $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x_1+x_2=1,\\ 2x_1+2x_2=2,\\ 3x_1+3x_2=3\end{array}\right.$

Теорема Кронекера-Капелли

Однородная система уравнений

Предложение Однородная система уравнений $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n=0,\\ ... ...\ldots\ldots\ldots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\ldots+a_{mn}x_n=0\end{array}\right.$ всегда является совместной.

Структура решений неоднородной системы линейных уравнений

Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса) Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными . Требуется найти ее общее решение, если она совместна, или установить ее несовместность. Метод, который будет изложен в этом разделе, близок к методу вычисления определителя 5.1.с и к методу нахождения ранга матрицы (раздел 5.8). Предлагаемый алгоритм называется методом Гаусса или методом последовательного исключения неизвестных.

Примеры

Найдите общее решение системы уравнений

Найдите фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы линейных уравнений

Алгебраические структуры

Группы

Определение Группой называется непустое множество $\mathfrak{G}$ , на котором задана некоторая операция, обладающая следующими свойствами:

для любых $\mathfrak{a},\,\mathfrak{b},\,\mathfrak{c}\in\mathfrak{G}$ выполнено

$\displaystyle (\mathfrak{a}\propto\mathfrak{b})\propto\mathfrak{c}=\mathfrak{a}\propto(\mathfrak{b}\propto\mathfrak{c})$

(свойство ассоциативности);

существует такой элемент $\mathfrak{e}$ , $\mathfrak{e}\in \mathfrak{G}$ , что для любого элемента $\mathfrak{a}$ , $\mathfrak{a}\in \mathfrak{G}$ , выполнено

$\displaystyle \mathfrak{a}\propto\mathfrak{e}=\mathfrak{a}$

(существование единицы или нуля);

для любого элемента $\mathfrak{a}$ , $\mathfrak{a}\in \mathfrak{G}$ , существует такой элемент $\tilde\mathfrak{a}$ , $\tilde\mathfrak{a}\in\mathfrak{G}$ , что

$\displaystyle \mathfrak{a}\propto\tilde\mathfrak{a}=\mathfrak{e}$

(существование обратного элемента).

Пример

Кольца

Пример

Поля

Многомерные пространства

Линейные преобразования

Определение и примеры

Пример

Упражнение

Матрица линейного преобразования

В примере 19.4 было показано, что преобразование -мерного пространства, заключающееся в умножении координатных столбцов векторов на фиксированную матрицу, является линейным преобразованием. В этом разделе мы покажем, что все линейные преобразования конечномерного пространства устроены таким же образом.

Пусть -- -мерное линейное пространство, в котором задан базис ${e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$ , $\mathcal{A}$ -- линейное преобразование. Возьмем произвольный вектор . Пусть ${{\alpha}=\left(\begin{array}{c}{\alpha}_1\\ \vdots\\ {\alpha}_n\end{array}\right)}$ -- его координатный столбец. Координатный столбец вектора ${\mathcal{A}(x)}$ обозначим ${\beta}$ .

Запишем разложение вектора по базису пространства ${x={\alpha}_1e_1+{\alpha}_2e_2+\ldots+{\alpha}_ne_n}$ .

Пример

Изменение матрицы линейного преобразования при изменении базиса

Собственные числа и собственные векторы

Пример

Нахождение собственных чисел и собственных векторов матриц

Пример Найдите собственные числа и собственные векторы матрицы $\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr}1&-3&4\\ 4&-7&8\\ 6&-7&7\end{array}\right).$

Матрица линейного преобразования в базисе из собственных векторов

Теорема

Теорема

Пример Приведите уравнение поверхности $\displaystyle x^2+5y^2+z^2+2xy+6xz+2yz-2x+6y+2z=0$

Математический анализ Лекции, конспекты, примеры решения задач
Элементы комбинаторики
Бином Ньютона. (полиномиальная формула)
Бином Ньютона – это формула, выражающая выражение (a + b)ⁿ в виде многочлена. Эта формула имеет вид:
Пример
Элементы математической логики
Математическая логика – разновидность формальной логики, т.е. науки, которая изучает умозаключения с точки зрения их формального строения.
Конъюнкция Дизъюнкция
Импликация Эквиваленция
Примеры
Булевы функции
Определение. Булевой функцией f(X₁, X₂, …, X_n) называется называется произвольная n – местная функция, аргументы и значения которой принадлежат множеству {0, 1}.
Исчисление предикатов
Конечные графы и сети. Основные определения
Определение. Если на плоскости задать конечное множество V точек и конечный набор линий Х, соединяющих некоторые пары из точек V, то полученная совокупность точек и линий будет называться графом.
При этом элементы множества V называются вершинами графа, а элементы множества Х – ребрами.
В множестве V могут встречаться одинаковые элементы, ребра, соединяющие одинаковые элементы называются петлями. Одинаковые пары в множестве Х называются кратными (или параллельными) ребрами. Количество одинаковых пар
(v, w) в Х называется кратностью ребра (v, w).
Множество V и набор Х определяют граф с кратными ребрами – псевдограф.
Матрицы графов
Примеры
Достижимость и связность.

Деревья и циклы
Элементы топологии

Открытые и замкнутые множества
Непрерывные отображения

Топологические произведения
Введение в математический анализ

Числовая последовательность
Определение. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число х_n, то говорят, что задана последовательность x_1,х₂, …, х_n= {x_n}
Определение
Ограниченные и неограниченные последовательности
Монотонные последовательности
Число е
Связь натурального и десятичного логарифмов
Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности
Основные теоремы о пределах
Бесконечно малые функции
Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми
Свойства эквивалентных бесконечно малых
Некоторые замечательные пределы
Пример
Непрерывность функции в точке
Непрерывность некоторых элементарных функций
Точки разрыва и их классификация
Свойства функций, непрерывных на отрезке
Пример