Задача 1 Изменить порядок
интегрирования
Задача 2 Изменить порядок
интегрирования 
Решение:
первый
интеграл – есть двойной интеграл от функции f по некоторой области D1
. Согласно (1) область D1 записывается в виде 
. Второй интеграл – есть двойной
интеграл от функции f по области D2, которая согласно
(1) записывается в виде 
. В прямоугольной системе координат построим области
( рис. 1). Функции нескольких переменных
Пример. Найти область определения функции 
Справочный материал и примеры
к выполнению контрольной работы по математике
Рис.
1 Вычислить криволинейный интеграл
Математика Примеры решения задач
*здесь в скобках приведен номер задачи
из сборника заданий по высшей математике Л.А. Кузнецова[4]. Непосредственное
интегрирование Отыскание неопределенного интеграла с помощью таблицы, правил
итождественных преобразований называют непосредственным интегрированием
Примеры
решения задач Приближенные вычисления
с помощью полного дифференциала Интегральное исчисление.
Таким
образом,
Эгейское
искусство В III тысячелетии до н. э. высокого рассвета достигло искусство
Эгеиды (островов Эгейского моря и побережья Малой Азии). Особую известность приобрели
мастера островов Кикладского архипелага, расположенного в южной части Эгейского
моря (Фера или Санторин, Милос, Парос, Наксос, Делос, Сифнос, Сирос и др.).
Так
как повторные интегралы в левой части полученного равенства записаны по формуле
(1), то двойной интеграл справа, должен быть записан в виде повторного, по формуле
(2). Для этого область D запишем в виде 
. Очевидно, что а=0, b=1. Поскольку
кривая 
ограничивает область
D слева и уравнение этой линии у=х, то 
. Кривая ограничивает область D справа,
и уравнение этой кривой 
. Выразив х, через у, получим 
( знак «+» перед корнем выбран
потому, что нам нужна правая часть окружности), т.е. 
. Следовательно, 
. Применяя формулу (2), получим:
(1.29).
изменить порядок интегрирования.
Решение:
Согласно
(2) области D! и D2 записываются
в виде 
. В прямоугольной
системе координат построим области ( рис. 2).
Рис.
2.
Таким
образом,
поскольку
повторные интегралы в левой части полученного равенства записаны по формуле (2),
то двойной интеграл справа должен быть записан по формуле (1). Для этого нужно
записать D в
виде 
. Очевидно, что
а=0, b=1. Поскольку
кривая 
ограничивает область
D снизу
и уравнение этой кривой 
, то выразив у через х, получаем у=х2 , т.е. 
. Так как кривая 
ограничивает D сверху и уравнение
этой кривой , то выразив
у через х, получим ( знак «+» перед корнем выбран потому, что нам нужна
верхняя часть окружности), т.е. 
. Следовательно, 
. Применяя
формулу (1) получим:
Задача
3 Вычислить двойной интеграл
Задача
4 Вычислить двойной интеграл
Задача
5 Вычислить тройной интеграл
Задача
6 Вычислить тройной интеграл
Задача
7 Вычислить тройной интеграл
Найти
площадь фигуры, ограниченной данными линиями у=11 – х2; у= - 10х.
Найти
площадь фигуры, ограниченной данными линиями
Найти
площадь фигуры, ограниченной данными линиями: у2-4у+х2=0; у2-8у+х2=0;
;
Пластина
D задана ограничивающими ее кривыми M--поверхностная плотность. Найти массу пластины.
Пластинка
D заданна ограничивающими ее кривыми, m
- поверхностная плотность. Найти массу пластинки.
Найти
объем тела W, заданного ограничивающими
его поверхностями: 
Найти объем
тела W, заданного ограничивающими его
поверхностями 
Найти объем
тела W, заданного ограничивающими его
плоскостями: х2+у2=5у; х2+у2=8у;
Найти
объем тела W, заданного ограничивающими
его поверхностями: х2+у2+2х=0; z=25/4
–y2; z=0.
Найти
объем тела W, заданного ограничивающими
его поверхностями 
Найти объем
тела W, заданного, ограничивающими его
поверхностями 
.
Найти объем
тела W, заданного ограничивающими его
поверхностями z=10(x2+y2)+1; z=1-20y.
Тело
W задано ограничивающими его поверхностями
,m - плотность.
Найти массу тела. 4(x2+y2)=z2; x2+y2=1; y=0; z=0;(y³ 0; z³ 0); m=10(x2+y2)/
Лекции,
примеры решения задач
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
Матрицы, операции над матрицами
Применение
тройных или кратных интегралов Интегрирование
рациональных функций Для того, чтобы проинтегрировать рациональную дробь необходимо
разложить ее на элементарные дроби.
Масса
неоднородного тела. Тройной интеграл
Вычисление
тройных интегралов Декартовы координаты
Вычисление
тройных интегралов Цилиндрические координаты
Вычисление
тройных интегралов Сферические координаты
Применение
тройных интегралов
Пусть
задан двукратный интеграл 
.
Квадратичные
формы и их применение
Определители матриц
Определение. Матрицей из m
строк, n столбцов назыается прямоугольная таблица чисел 
; 
- элемент матрицы; i-номер строки; i=1,…,m; j-номер столбца, j=1,…,n; m, n – порядки
матрицы. При m=n 
- квадратная
матрица.
Линейные евклидовы и унитарные пространства
Системы
координат в пространстве: декартовы, цилиндрические и сферические координаты
Декартова система координат в пространстве определяется точкой
и базисом из трех векторов. Точка O
называется началом координат. Прямые, проведенныечерез начало координат
в направлении базисных векторов, называются осями координат. В трехмерном пространстве они называются
осями абсцисс, ординат и аппликат. Оси координат являются
числовыми осями с началом в точке O
, положительным направлением, совпадающим с направлением соответствующего базисного
вектора, и единицей длины, равной длине этого вектора. Координатами точки M
называются координаты вектора OM
( радиус–вектора) (см. рис. 1). Если базис ортонормированный,
то связанная с ним декартова система координат называется прямоугольной.
Пусть
задан двукратный интеграл . Если область интегрирования
D (рис. 15), задаваемая неравенствами 
является также правильной
относительно оси ОУ, т.е. граница области D пересекается прямой y =
c (c постаянная) не более чем в двух точках, то область D можно
задать другими неравенствами:
.
