Комплексные числа
- Определение комплексного числа
Рассматривается множество упорядоченных пар z = (x, y). Первое число из такой пары называется вещественной частью и обозначаются x = Re z, второе число называется мнимой частью y = Im z.
Два элемента z1 , z2 равны z1 = z2 , если равны их вещественные и мнимые части z1 = z2 Û { Re z1 = Re z2, Im z1 = Im z2 }.
Определяются две операции:
Сложение z = (x,y), w = (u,v), z + w = (x + u,y + v).
Умножение zw = ( xu – yv, xv + yu).
Это множество с такими операциями называется множеством комплексных чисел и обозначается C (комплексная плоскость).
Геометрическая интерпретация. Комплексное число z=(x,y) можно интерпретировать, как радиус вектор в точку (x,y).
- Свойства комплексных чисел
- Алгебраическая форма записи
- Модуль и аргумент комплексного числа. Комплексное сопряжение
- Формула Муавра
Верхняя и нижняя грани множества действительных чисел
- Ограниченное множество. Точные грани
- Существование точной верхней грани у ограниченного сверху множества
Теоремы о среднем для дифференцируемых функций
- Теорема Ферма о нуле производной
- Теорема Ролля о нуле производной
- Теорема Коши о конечных приращениях
Последовательности
- Основные понятия, относящиеся к последовательностям
- Предел последовательности
- Теоремы о пределах последовательностей
- Монотонные последовательности
- Некоторые свойства последовательностей связанные со свойством непрерывности вещественных чисел
- Верхний и нижний пределы последовательности
- Фундаментальная последовательность. Критерий Коши для последовательности
- Свойства последовательностей
Исследования характера поведения функций
- Условие монотонности функции
- Максимальные и минимальные значения функций ( экстремумы )
- Исследование функций на экстремум по знаку высших производных
- Выпуклость функции, точки перегиба
- Асимптоты функций
- Пример
- Пример
- Построение графиков функций, заданных в полярной системе координат
- Правило Лопиталя
- Раскрытие неопределенностей
- Использование правила Лопиталя
- Примеры
Элементы теории кривых Плоские кривые
- Элементы теории кривых
- Векторная функция скалярного аргумента
- Предел вектор функции
- Непрерывность вектор функции
- Правила дифференцирования
- Длина кривой Спрямляемая кривая
- Плоские кривые
- Понятие кривизны и ее вычисление
- Выражение центра и радиуса кривизны для явно заданной кривой
Формула Тейлора
- Многочлен Тейлора. Формула Тейлора с остаточным членом Rn.
Пусть f (n-1)-раз дифференцируема в окрестности U=(x0-a,x0+a) точки x0 и существует f(n)(x0). Многочленом Тейлора в точке x0 называется многочлен вида
.
Свойства многочлена Тейлора
(1)
Из (1) следует
=
(2)
Из (1) следует
Pn(x0)=f(x0),
(3)
В частности,
, k=0,1,…,n.
Обозначим Rn(x)=f(x) - Pn(x), тогда
(4)
(4) – формула Тейлора функции f в окрестности точки x0 с остаточным членом Rn. Основная задача будет состоять в представлении остатка в удобной для оценок формах.
- Остаток в форме Пеано
- Единственность представления функции по формуле Тейлора
- Другие формы остатка в формуле Тейлора
- Разложение некоторых элементарных функций по формуле Тейлора
- Примеры использования стандартных разложений для представления функций по формуле Тейлора
- Формула Тейлора для четных и нечетных функций
Дифференциальное исчисление Производные и дифференциалы высших порядков
- Производная Определение производной
- Геометрическая интерпретация производной
- Дифференциал функции
- Основные правила дифференцирования
- Производная сложной функции
- Вычисление производной обратной функции
- Производные элементарных функций
- Функции заданные параметрически
- Производные и дифференциалы высших порядков
- Производные высших порядков
- Вычисление производных функций, заданных неявно
- Формула Лейбница
- Дифференциалы высших порядков
- Инвариантность формы дифференциала первого порядка
Непрерывные функции
- Непрерывность в точке и на множестве
- Простейшие свойства непрерывных функций
- Ограниченность непрерывной функции. Теоремы Вейерштрасса
- Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции
- Критерий непрерывности монотонной функции
- Непрерывность обратной функции
- Непрерывность элементарных функций
- примеры
- Равномерная непрерывность
Предел функции
- Основные понятия, относящиеся к функции
- Ограниченность. Точные грани
- Элементарные функции
- Определение предела по Коши
- Односторонние пределы. Предел слева, предел справа
- Определение предела по Гейне
- Критерий Коши существования предела функции
- Локальная ограниченность функции, имеющей конечный предел
- Сохранение знака функции, имеющей ненулевой предел в точке
- Предел сложной функции
- Свойства пределов
- Арифметические операции над пределами
- Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- Замечательные пределы
1.
Для
Откуда следуют неравенства
Далее
cos x =1 и из (2)Þ
Отметим, что было доказано:
2.
Лемма 1.
xn=a, {nk} - последовательность натуральных
чисел 
nk=+¥Þ 
=a.Доказательство:
"e$Ne"n>Ne :|xn - a|<e (3)
Для Ne $K"k >K: nk>Ne из (3) следует |
- a|<e.Лемма 2. Если
xk=0, xk>0,
то 
=e.Доказательство: Будем считать, что xk < 1. Для целой части числа
, nk=
будут выполнены неравенства:
, 
Поэтому
(4)Пределы последовательностей
,
согласно лемме 1, равны числу e. Для того, чтобы это проверить,
эти последовательности можно представить в виде:
.Переходя к пределу в (4) при k®¥ по теореме о трех последовательностях получим требуемое утверждение .
Следствие 1.
.Действительно, утверждение леммы 2 означает, что для любой последовательности {xk} типа Гейне при x®0 будет выполнено
=e. Аналогичное утверждение справедливо для предела слева
.Следствие 2.
,
. Первое утверждение следует из теоремы о связи предела с
односторонними пределами. Последнее равенство получено с помощью
замены x = 1/y.Основные эквивалентности
sin x ~ x, x®0,
ax-1~ x ln a, x®0,
ln(1+x )~ x, x®0.