Математика курс лекций для технических университетов

Комплексные числа

Модуль и аргумент комплексного числа. Комплексное сопряжение. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел.

Некоторые определения и свойства

Для z=(x,y), определяется комплексно сопряженное число ,

модуль комплексного числа .

Определение аргумента комплексного числа

Главным значением аргумента комплексного числа называется угол между положительным направлением вещественной оси и радиус вектором комплексного числа, лежащий в диапазоне [0,2p). Главное значение аргумента обозначается arg z. Аргумент комплексного числа Arg z = arg z +2pk. Например, для первой четверти arg z = arctg y/x , а для четвертой четверти, arg z = 2p+arctg y/x .

Тригонометрическая форма представления комплексного числа

z = x + iy = r( cos j + i sin j ), (1)

где j=Arg z.

Формулы Эйлера. Введем обозначения

eij = cos j + i sin j, откуда следует, что

cos j = , sin j = .

Замечание. Определение комплексного числа ez в общем случае z=x+iy производится по формуле .

Свойства символа eij. Непосредственно из определения следует

ei(j+y) = eij eiy, Þ (eij)n=einj

Используя eij комплексное число можно представить в виде

z = reij (2)

Выражения (1) и (2) - тригонометрические формы записи комплексного числа

 Определение. Если на плоскости задать конечное множество V точек и конечный набор линий Х, соединяющих некоторые пары из точек V, то полученная совокупность точек и линий будет называться графом.

 При этом элементы множества V называются вершинами графа, а элементы множества Х – ребрами.

 В множестве V могут встречаться одинаковые элементы, ребра, соединяющие одинаковые элементы называются петлями. Одинаковые пары в множестве Х называются кратными (или параллельными) ребрами. Количество одинаковых пар

(v, w) в Х называется кратностью ребра (v, w). Примеры решения задач Условный экстремум Интегральное исчисление.

 Множество V и набор Х определяют граф с кратными ребрами – псевдограф. Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике Найти модуль и аргумент чисел  и . Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.

G = (V, X)

 Псевдограф без петель называется мультиграфом.

 Если в наборе Х ни одна пара не встречается более одного раза, то мультиграф называется графом.

 Если пары в наборе Х являются упорядочными, то граф называется ориентированным или орграфом.