Математика курс лекций для технических университетов

Верхняя и нижняя грани множества действительных чисел

Существование точной верхней грани у ограниченного сверху множества

Теорема 1. У непустого, ограниченного сверху множества существует точная верхняя грань.

Доказательство: Пусть b верхняя грань множества E и aÎE Примеры решения задач Производная по направлению Интегральное исчисление.

Обозначим [a1,b1] правый из отрезков , имеющий непустое пересечение с E. Отметим свойства этого отрезка;

"xÎE: x £ b1

EÇ[a1,b1] ¹ Æ

Эту процедуру повторим для [a1,b1], и т. д.

В результате получим последовательность вложенных отрезков [ak,bk], удовлетворяющих свойствам:

"xÎE: x £ bk

EÇ[ak,bk] ¹ Æ

Доказательство этого проводится по индукции. Предположим, что построен отрезок [ak,bk] с указанными свойствами. Разделим его пополам точкой

 . Через [ak+1,bk+1] обозначим правый из отрезков , имеющий непустое пересечение с E. Полученный отрезок обладает свойствами 1), 2).

Длины этих отрезков bk - ak=(b - a)/2k стремятся к 0, поэтому существует единственное число c общее для всех этих отрезков. Это число является точной верхней гранью данного множества. Действительно:

1) "xÎE: x £ c

Предположим противное: $ xÎE:x>c, возьмем e = x - c,$n:bn - an<e=x - c, тогда bn - c £ bn - an < x - c Þ bn < x, что противоречит условию xÎ[an,bn].

2) "e>0 $xÎE: x > c - e

Для любого e $n: bn - an < e. Выберем какое либо xÎ[an,bn] . В силу свойства 1) будет выполнено x < c, кроме того c - x £ bn - an < e. Таким образом, найдено требуемое x.

Аналогично можно доказать, что у непустого ограниченного снизу множества существует точная нижняя грань.

Теорема 2. Точная верхняя грань (если она существует), единственна.

Доказательство: Пусть имеются две точных грани b2 , b1, b1< b2 . Положим e = b2 - b1 > 0, по определению точной верхней грани (для b2) $ xÎE: x > b2 - e = b1, что противоречит тому, что b1 верхняя грань.

Замечание.

  1. Точная нижняя грань единственна.

  2. Если E не ограничено сверху, то пишут sup E = +¥, аналогично если E не ограничено снизу, то пишут inf E = -¥.

 Определение. Если на плоскости задать конечное множество V точек и конечный набор линий Х, соединяющих некоторые пары из точек V, то полученная совокупность точек и линий будет называться графом.

 При этом элементы множества V называются вершинами графа, а элементы множества Х – ребрами.

 В множестве V могут встречаться одинаковые элементы, ребра, соединяющие одинаковые элементы называются петлями. Одинаковые пары в множестве Х называются кратными (или параллельными) ребрами. Количество одинаковых пар

(v, w) в Х называется кратностью ребра (v, w). Примеры решения задач Условный экстремум Интегральное исчисление.

 Множество V и набор Х определяют граф с кратными ребрами – псевдограф. Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике Найти модуль и аргумент чисел  и . Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.

G = (V, X)

 Псевдограф без петель называется мультиграфом.

 Если в наборе Х ни одна пара не встречается более одного раза, то мультиграф называется графом.

 Если пары в наборе Х являются упорядочными, то граф называется ориентированным или орграфом.