Математика курс лекций для технических университетов

Последовательности

Основные понятия, относящиеся к последовательностям

1. Ограниченная последовательность. Точная верхняя (нижняя) грань. Монотонные последовательности

Определение. Последовательность {an} определяется как отображение множества натуральных чисел в множество действительных чисел, {an}: n®an .

Ограниченность сверху. $ b "nÎN: an £ b. Такое b называется верхней гранью последовательности {an}. Таким образом, последовательность называется ограниченной сверху, если у ней существует хотя бы одна верхняя грань.

Ограниченность снизу. $a "nÎN: an ³ a. Существует нижняя грань.

Ограниченность. $c "nÎN: |an| £ c. Существуют верхняя и нижняя грани.

Примеры: {(-1)n}, sin n, 

Определение точной верхней грани. b = sup {xn}:

"nÎN: xn £ b ( b есть верхняя грань )

"e>0 $nÎN: xn > b - e ( никакое меньшее число не является верхней гранью )

Аналогично определяется inf.

Пример. Написать на кванторах утверждение b ¹ sup {xn}.

b ¹ sup {xn} означает отрицание b = sup {xn}. Таким образом, выполнено

или отрицание 1), или отрицание 2).

Другими словами:

или

$nÎN: xn > b

или

  2) $e>0"nÎN: xn £ b - e

Монотонно возрастающая последовательность {an} .

"nÎN: an £ an+1

Строго монотонно возрастающая последовательность {an}.

"nÎN: an < an+1.

Аналогично даются определения монотонных убывающих последовательностей.

 Определение. Если на плоскости задать конечное множество V точек и конечный набор линий Х, соединяющих некоторые пары из точек V, то полученная совокупность точек и линий будет называться графом.

 При этом элементы множества V называются вершинами графа, а элементы множества Х – ребрами.

 В множестве V могут встречаться одинаковые элементы, ребра, соединяющие одинаковые элементы называются петлями. Одинаковые пары в множестве Х называются кратными (или параллельными) ребрами. Количество одинаковых пар

(v, w) в Х называется кратностью ребра (v, w). Примеры решения задач Условный экстремум Интегральное исчисление.

 Множество V и набор Х определяют граф с кратными ребрами – псевдограф. Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике Найти модуль и аргумент чисел  и . Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.

G = (V, X)

 Псевдограф без петель называется мультиграфом.

 Если в наборе Х ни одна пара не встречается более одного раза, то мультиграф называется графом.

 Если пары в наборе Х являются упорядочными, то граф называется ориентированным или орграфом.