Математика курс лекций для технических университетов

Последовательности

Монотонные последовательности

Т5. Всякая ограниченная сверху, монотонно возрастающая последовательность {xn} имеет конечный предел

Доказательство. Пределом будет число b=. Берем произвольное e >0. Из определения точной верхней грани следует, что найдется N такое, что

b-e < xN £ b <b+e. Все последующие члены последовательности будут располагаться в этой e-окрестности числа b в силу монотонности последовательности.

Замечание 1. Аналогично доказывается, что всякая ограниченная снизу монотонно убывающая последовательность сходится.

Замечание 2. Если {[an,bn]} система вложенных стягивающихся к нулю отрезков и сÎ[an,bn], то .

Доказательство:

Пример. Число e

Индукцией по n доказывается формула ( Бином Ньютона ):

.

Для последовательности xn= получим

.

Для n+1 будет, соответственно,

+

.

При переходе от n к n+1 каждое слагаемое в этой сумме увеличивается и растет их общее число, поэтому xn<xn+1. Каждая скобка <1 и , поэтому

. Монотонно возрастающая ограниченная последовательность сходится к некоторому числу, которое обозначается e. Это трансцендентное число называется числом Эйлера e=2.718281828459045…

Действия с комплексными числами.

 Основные действия с комплексными числами вытекают из действий с многочленами.

Примеры решения задач Градиент Интегральное исчисление. Вычислить значение функции  в точке , ответ представить в алгебраической форме комплексного числа Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

 1) Сложение и вычитание.

 2) Умножение.