Математика курс лекций для технических университетов

Последовательности

Некоторые свойства последовательностей связанные со свойством непрерывности вещественных чисел

1.Подпоследовательность. Теорема Больцано-Вейерштрасса

Определение. Дана последовательность {xn} и последовательность натуральных чисел {nk}, 1£ n1<n2<…< nk <nk+1<…, тогда последовательность {yk}, называется подпоследовательностью последовательсти {xn}.

Пример:  xn= sin n, nk=2k, = sin 2k.

Замечание. Отметим, что из условия nk < nk+1 следует, что k ³ nk (индукция по k) .

Теорема 1. Если  (a - число или символ), то для любой ее подпоследовательности {yk}, ,будет .

Доказательство: Вне любой окрестности a содержится лишь конечное число членов {xn}, следовательно, и конечное число подпоследовательности {}.

Теорема 2. (Больцано, Вейерштрасс) Из любой ограниченной последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. Пусть [a,b]É {xn}.

Разделим отрезок [a,b] пополам, обозначим [a1,b1] тот из полученных двух отрезков, который содержит бесконечно много членов последовательности {xn}. Возьмем какой-нибудь член последовательности, лежащий в [a1,b1], его индекс обозначим n1.

Разделим отрезок [a1,b1] пополам, обозначим [a2,b2] тот из полученных двух отрезков, который содержит бесконечно много членов последовательности {xn}. Возьмем какой-нибудь член последовательности, лежащий в [a2,b2] и имеющий индекс больший, чем n1, его индекс обозначим n2. Продолжая этот процесс, мы построим подпоследовательность . Система отрезков [ak,bk] представляет собой систему вложенных, стягивающихся к нулю отрезков ( bk-ak=(b-a)/2k). Общую точку обозначим c. Так как cÎ[ak,bk], то . Откуда следует, что  (Следствие 2 из Теоремы 4 §2).

Определение. Предел подпоследовательности называется частичным пределом (в том числе ±¥)

Замечание 1. Частичных пределов у последовательности может быть много.

Пример: Последовательность всех рациональных чисел {rn} имеет своим частичным пределом любое вещественное число.

Замечание 2. Для того, чтобы a (число или символ) было частичным пределом последовательности {xn} необходимо и достаточно, чтобы любая окрестность a содержала бесконечно много членов последовательности {xn}.

Следствие. Если некоторая окрестность a содержит конечное число членов последовательности, то a не является частичным пределом.

Замечание 3. У любой последовательности существует хотя бы один частичный предел (конечный или бесконечный)

Доказательство: Рассмотреть два случая: Ограниченная последовательность. В этом случае утверждение теоремы является следствием теоремы Больцано-Вейерштрасса. В случае неограниченной последовательности для выделения подпоследовательности имеющей пределом ¥ используется определение предела последовательности, имеющей несобственный предел. Например, пусть , тогда. Условие nk> nk-1 можно обеспечить используя то, что в любой окрестности +¥ имеется бесконечно много членов последовательности.

Действия с комплексными числами.

 Основные действия с комплексными числами вытекают из действий с многочленами.

Примеры решения задач Градиент Интегральное исчисление. Вычислить значение функции  в точке , ответ представить в алгебраической форме комплексного числа Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

 1) Сложение и вычитание.

 2) Умножение.