Математика курс лекций для технических университетов

Последовательности

Фундаментальная последовательность. Критерий Коши для последовательности.

Условие Коши:"e>0$N"n>N"p:|xn+p - xn|<e

Определение. Фундаментальною последовательностью называется последовательность, удовлетворяющая условию Коши.

Т. (Критерий Коши). Для того, чтобы последовательность {xn} сходилась необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальна.

Доказательство: Необходимость. Последовательность сходится . Пусть e>0 . Для e¢=e/2$N"n>N:|xn -a|<e/2 для тех же n (n>N) и "p будет выполнено |xn+p -a|< e/2. Таким образом, для "n>N"p:|xn+p - xn|£ |xn+p - a|+|a - xn| < e/2+e/2=e.

  Достаточность. Пусть e >0. Для

e¢=e/2$N1"n>N1"p:|xn+p - xn|<e/2 (1)

Таким образом, все члены последовательности начиная с номера N1+1 оказались в окрестности числа  , следовательно, последовательность ограничена. По теореме Больцано-Вейерштрасса существует сходящаяся подпоследовательность , пусть . Для ранее выбранного e¢

 (2).

Выберем натуральное число m так, чтобы m >K и m > N1, тогда число N=nm будет больше N1 и, согласно (1)

"n>N:|xn - xN|<e/2 , (3)

с другой стороны из (2)

 (4)

Из (3), (4) получим, что при n >N будет выполнено

|xn-a|< ч.т.д.

Действия с комплексными числами.

 Основные действия с комплексными числами вытекают из действий с многочленами.

Примеры решения задач Градиент Интегральное исчисление. Вычислить значение функции  в точке , ответ представить в алгебраической форме комплексного числа Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

 1) Сложение и вычитание.

 2) Умножение.