Математика курс лекций для технических университетов

Последовательности Свойства последовательностей

Операции над последовательностями. Свойства пределов, связанные с операциями

Определения операций. Сумма двух последовательностей, умножение на число.

Последовательность an называется бесконечно малой (б.м.), если .

Последовательность an называется бесконечно большой (б.б.), если

1) {an} б.м. Þ |an| б.м.

2) {an+bn} б.м. , если an , bn б.м.

Следствие. {an+bn+…+gn} б.м. если an , bn ,… б.м.

Определение. Произведением двух последовательностей {xk}, {yk} называется последовательность {xkyk}.

3) б.м. на ограниченную является б.м.

Следствие. Произведение конечного числа б.м. Является б.м..

4) {1/an} б.б., если {an} б.м. an¹0

{1/bn} б.м., если {bn} б.б., bn¹0

5)Ранее отмечалось, что

существование конечного предела равносильно существованию б.м. {an} такой, что .

яяяяN STяяE=яяяяt-яяzeяя2.0pt;font-famяяy:Arial'>6)  {xn},{yn} сходятся, то сходится {xn+yn} и

Следствие. Свойство 6) распространяется и на конечные суммы.

Замечание. Свойство 6) нарушается, если хотя бы один из пределов равен ±¥

7) {xn},{yn} сходятся, то сходится {xnyn} и .

Доказательство.  

Следствие 1.Если {xn} сходятся, то сходится {сxn} и

Следствие 2. xn®a Þ

8) xn®a Þ |xn|®|a|

9) xn®a, yn®b, yn¹0, b¹0 Þ

Лемма. Если yn®b, yn¹0, b¹0, то |1/yn| ограничена.

Доказательство:  , тогда для

таким образом,

Доказательство свойства 9)

.

Последовательность  по лемме ограничена, последовательность - бесконечно малая.

Действия с комплексными числами.

 Основные действия с комплексными числами вытекают из действий с многочленами.

Примеры решения задач Градиент Интегральное исчисление. Вычислить значение функции  в точке , ответ представить в алгебраической форме комплексного числа Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

 1) Сложение и вычитание.

 2) Умножение.