Математика курс лекций для технических университетов

Некоторые понятия математической логики (Дж. Маллас Пролог)

  При описании логики Аристотеля употребляется понятие суждение. Суждение представляет собой законченную мысль, выраженную средствами естественного языка и (согласно Аристотелю) состоит из четырех элементов: квантор, субъект, связка, предикат.

Примеры:

В последнем случае подразумевается связка “являются”. В первом случае обычно говорят также: “Все числа не являются рациональными”. Вместо термина предикат мы будем использовать также термин свойство. Противоположное свойство P или отрицание свойства P обозначается значком  или .

В традиционной логике допускаются два типа суждений, каждый из которых характеризует возможные отношения между двумя классами (классом субъектов и классом предикатов):

Все S являются P ( каждый из S удовлетворяет свойству P )

Некоторые из S являются P ( существует представитель из S, удовлетворяющий свойству P )

Здесь S обозначает класс субъектов, а P - класс предикатов ( или некоторое свойство, характеризующее этот класс ). Все, каждый, любой, произвольный называются универсальным квантором или квантором общности. Квантор общности обозначается значком ". Некоторые из, существует - экзистенциальные кванторы. Квантор существования обозначается значком $. Таким образом, основные типы суждений можно записать в следующей форме ( логической связке соответствует символ двоеточия ):

"xÎS:P

$xÎS:P

Предикат и субъект в суждении могут быть составными, в частности они сами могут быть суждениями. Например, рассмотрим высказывание (суждение):

"e>0 $d>0 "x,|x-x0|<d : |f(x)-2|<e.

Это высказывание следует читать так: Для любого эпсилон больше нуля существует дельта больше нуля, (что) для всех икс, удовлетворяющих неравенству …, выполнено неравенство …. Это суждение является составным и может быть разложено на простейшие суждения следующим образом:

"eÎS1 : P1, где S1-класс субъектов, S1={xÎR,x>0}, P1 - предикат,

P1=($dÎS2 : P2), где S2=S1, P2 - предикат,

P2=("xÎS3: P3), S3= S3(d)={xÎR:|x-x0|<d}, P3 – предикат (свойство) |f(x)-2|<e.

Прямая и обратная теоремы, эквивалентность, метод математической индукции

  Структура простейшей теоремы выглядит следующем образом: дано свойство A (условие) , из него выводится свойство B (заключение).

В этом случае говорят A влечет B (A из следует B) и пишут A  B . Последняя запись подразумевает, на самом деле, истинность выражения A  B.

Если к тому же B  A, то говорят, что верна и обратная теорема и пишут AÛ B, при этом A и B называются эквивалентными.

Теорема. Отрицание суждения должно строиться по следующим формальным правилам:

1. квантор " заменяется на квантор $

2. квантор $ заменяется на квантор "

3. предикат P заменяется на свое отрицание.

Пример:

"e>0 $d>0 "x,|x-x0|<d : |f(x)-2|<e.

его отрицание

$e>0 "d>0 $x,|x-x0|<d : |f(x)-2|³e.

Доказательство достаточно провести для двух типов простейших суждений:

1. " x: P

2. $ x: P.

Для таких суждений сформулированная теорема достаточно очевидна.

Метод математической индукции

Имеется последовательность свойств Pn. Если доказано свойство P1 и 

Pk  Pk+1, то Pn справедливы для n  N.

 Определение. Если на плоскости задать конечное множество V точек и конечный набор линий Х, соединяющих некоторые пары из точек V, то полученная совокупность точек и линий будет называться графом.

 При этом элементы множества V называются вершинами графа, а элементы множества Х – ребрами.

 В множестве V могут встречаться одинаковые элементы, ребра, соединяющие одинаковые элементы называются петлями. Одинаковые пары в множестве Х называются кратными (или параллельными) ребрами. Количество одинаковых пар

(v, w) в Х называется кратностью ребра (v, w). Примеры решения задач Условный экстремум Интегральное исчисление.

 Множество V и набор Х определяют граф с кратными ребрами – псевдограф. Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике Найти модуль и аргумент чисел  и . Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.

G = (V, X)

 Псевдограф без петель называется мультиграфом.

 Если в наборе Х ни одна пара не встречается более одного раза, то мультиграф называется графом.

 Если пары в наборе Х являются упорядочными, то граф называется ориентированным или орграфом.