Математика курс лекций для технических университетов

Вещественные числа

  Рассматривается множество R, со следующими свойствами

1. Свойство упорядоченности

"a, b либо a < b, либо a = b, либо  a > b

1.1  a < b, b < c Þ a < c ( свойство транзитивности )

  Определение: ( a < b ) или ( a = b ) , то пишут a £ b

2. Свойства операции сложения. Имеется отображение из R2 в R : "a,b ® a+b.

a + b = b + a (коммутативность)

  ( в терминах суждений можно было бы написать "a:( "b: a + b = b + a) )

2.2  a + ( b + c ) = ( a + b ) + c (ассоциативность)

2.3  $0, "a Î R : a + 0 = a

2.4  "a $ противоположный - a : a + (-a) = 0 

  2.5 a < b Þ a + c < b + c ,( "c )

3.  Свойства операций умножения (Имеется отображение "a,b ® ab)

3.1  a b = b a (коммутативность)

3.2  a ( b c ) = ( a b ) c (ассоциативность)

3.3  $1, "a Î R : 1 a = a

3.4 "a¹0$ a -1(обратный ): a a -1 = 1

3.5  a < b и c > 0  a c < b c

  a < b и c < 0  a c > b c 

4.  Связь операций

  4.1 ( a + b ) c = a c + b c ( дистрибутивность )

Определение

| a | =

Свойства | a + b | £ | a | + | b |, | | a | - | b | | £ | a – b |

5. Свойство Архимеда

  "a $nÎN: n > a

  Следствие: "a>0 "b $nÎ N: na > b

6. Свойство непрерывности вещественных чисел или Принцип вложенных отрезков.

Вначале некоторые определения.

Отрезок или сегмент - [a,b]={x:a£x£b}, b-a - длина

Система вложенных отрезков. Система отрезков {[aj,bj]} называется системой вложенных отрезков, если "k: [ak+1,bk+1]Ì[ak,bk] .

Принцип  вложенных отрезков. Для всякой системы вложенных отрезков существует хотя бы одно число, общее для всех отрезков.

Множество элементов, удовлетворяющее свойствам 1 - 6 называется множеством вещественных чисел и обозначается R. Числовая ось - изображение действительных чисел. Для вещественных чисел используется геометрическая терминология «точки».

Определение. Система отрезков стягивается к 0, если

"e>0 $N "n>N: bn-an < e

Лемма Кантора. Для всякой системы вложенных стягивающихся к нулю отрезков [ak,bk] существует единственное число, принадлежащее всем отрезкам данной системы.

Доказательство. Одно число существует по свойству 6. Предположим, что существуют два таких числа x , y и x < y. Тогда

"n: an £ x < y £ bn Þ"n: y – x £ bn - an.

Возьмем e = y – x. Для него $ N, "n > N: bn - an < e, что противоречит предыдущему неравенству.

Примеры работы с символом суммы .

Пример 1: Докажем сначала равенство для биномиальных коэффициентов

Cnk + Cnk-1=, где , n! =1×2×…×n, 0! = 1.

====.

 Определение. Если на плоскости задать конечное множество V точек и конечный набор линий Х, соединяющих некоторые пары из точек V, то полученная совокупность точек и линий будет называться графом.

 При этом элементы множества V называются вершинами графа, а элементы множества Х – ребрами.

 В множестве V могут встречаться одинаковые элементы, ребра, соединяющие одинаковые элементы называются петлями. Одинаковые пары в множестве Х называются кратными (или параллельными) ребрами. Количество одинаковых пар

(v, w) в Х называется кратностью ребра (v, w). Примеры решения задач Условный экстремум Интегральное исчисление.

 Множество V и набор Х определяют граф с кратными ребрами – псевдограф. Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике Найти модуль и аргумент чисел  и . Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.

G = (V, X)

 Псевдограф без петель называется мультиграфом.

 Если в наборе Х ни одна пара не встречается более одного раза, то мультиграф называется графом.

 Если пары в наборе Х являются упорядочными, то граф называется ориентированным или орграфом.