Математика курс лекций для технических университетов

Теоремы о среднем для дифференцируемых функций

 Теорема Ферма о нуле производной

Теорема. Если f(x) – определена на (a,b) и дифференцируема в точке x0Î(a,b), принимает в точке x0 наибольшее или наименьшее значение, то f¢(x0)=0.

Доказательство. Для случая наименьшего значения

f¢(x0+0)=³ 0, f¢(x0-0)= £ 0 Þ f¢(x0)=0

Геометрическая интерпретация

.

Уравнение линии на плоскости.

 Как известно, любая точка на плоскости определяется двумя координатами в какой- либо системе координат. Системы координат могут быть различными в зависимости от выбора базиса и начала координат.  

Определение. Уравнением линии  называется соотношение y = f(x) между координатами точек, составляющих эту линию.  Отметим, что уравнение линии может быть выражено параметрическим способом, то есть каждая координата каждой точки выражается через некоторый независимый параметр t.  Характерный пример – траектория движущейся точки. В этом случае роль параметра играет время. Примеры решения задач Примеры решения задач Пример. Вычислить интеграл Интегральное исчисление.

Уравнение прямой на плоскости. ОДУ первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными и однородные уравнения Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

 Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка Ах + Ву + С = 0, причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А² + В² ¹ 0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.   В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:- C = 0, А ¹ 0, В ¹ 0 – прямая проходит через начало координат- А = 0, В ¹ 0, С ¹ 0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох- В = 0, А ¹ 0, С ¹ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу- В = С = 0, А ¹ 0 – прямая совпадает с осью Оу- А = С = 0, В ¹ 0 – прямая совпадает с осью Ох Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.