Математика курс лекций для технических университетов

Теоремы о среднем для дифференцируемых функций

Теорема Ролля о нуле производной

Теорема. Если f непрерывна на [a,b], дифференцируема на (a,b) и f(a)=f(b). Тогда

$ x0Î(a,b):f¢(x0)=0.

Доказательство. Положим , . Хотя бы одна из точек x1, x2 внутренняя и для этой точки утверждение следует из теоремы Ферма.

3.Теорема Лагранжа о конечных приращениях

Теорема. Если f непрерывна на [a,b], дифференцируема на (a,b), то

$xÎ(a,b):f(b)-f(a)=f¢(x)(b-a).

Доказательство. Рассмотрим функцию

. Для этой функции F(a)=F(b)=0, и к ней применима теорема Ролля

.

Геометрическая интерпретация.

Существует точка, касательная в которой, параллельна хорде, соединяющей точки A и B графика.

Следствие 1.Если f непрерывна на [a,b], дифференцируема на (a,b) и f¢(x)º0 на (a,b), то f(x)ºconst.

Применяя теорему к произвольному отрезку [x0,x], где x0 произвольная фиксированная точка, получим f(x) - f(x0)=f¢(x)(x - x0)=0, т.е. f(x) = f(x0).

Следствие 2. Если f непрерывна на [a,b], дифференцируема на (a,b) и f¢(x)=g¢(x) на (a,b), то f(x)=g(x)+ const.

Уравнение линии на плоскости.

 Как известно, любая точка на плоскости определяется двумя координатами в какой- либо системе координат. Системы координат могут быть различными в зависимости от выбора базиса и начала координат.  

Определение. Уравнением линии  называется соотношение y = f(x) между координатами точек, составляющих эту линию.  Отметим, что уравнение линии может быть выражено параметрическим способом, то есть каждая координата каждой точки выражается через некоторый независимый параметр t.  Характерный пример – траектория движущейся точки. В этом случае роль параметра играет время. Примеры решения задач Примеры решения задач Пример. Вычислить интеграл Интегральное исчисление.

Уравнение прямой на плоскости. ОДУ первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными и однородные уравнения Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

 Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка Ах + Ву + С = 0, причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А² + В² ¹ 0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.   В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:- C = 0, А ¹ 0, В ¹ 0 – прямая проходит через начало координат- А = 0, В ¹ 0, С ¹ 0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох- В = 0, А ¹ 0, С ¹ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу- В = С = 0, А ¹ 0 – прямая совпадает с осью Оу- А = С = 0, В ¹ 0 – прямая совпадает с осью Ох Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.