Математика курс лекций для технических университетов

Исследования характера поведения функций

 Условие монотонности функции

Теорема 1. Для того, чтобы непрерывная на [a,b] и дифференцированная на (a,b) функция f(x) была постоянной на [a,b] н. и д., чтобы f¢(x)º0 на (a,b).

См. следствие теоремы Лагранжа о конечных приращениях.

Теорема 2. Для того, чтобы непрерывная на [a,b], дифференцируемая на (a,b) функция f(x) была не убывающей ( не возрастающей ) на [a,b] н. и д., чтобы f¢(x)³0 (f¢(x)£0) на (a,b).

Доказательство. Необходимость

 далее к перейти пределу.

Достаточность. Если x¢<x¢¢, то по теореме Лагранжа f(x¢¢)-f(x¢)=f¢(x)(x¢¢-x¢) откуда и следует требуемая монотонность.

Пример. Оценить погрешность приближения функции sin x многочленом третьей степени  на отрезке [0, p/2].

Рассмотрим функцию f(x) = sin x – x +x3/6. Имеем f¢(x)=cos x – 1 + x2/2 и далее ³ - 2=0, на [0, p/2] . Отсюда следует, что функция f(x) монотонно возрастает на указанном отрезке и, таким образом, достигает максимума в точке p/2. max |sin x – x +x3/6|=1 - /2 + p3/48»0.075.

Теорема 3. Для того, чтобы непрерывная на [a,b], дифференцируемая на (a,b) функция f(x) была строго монотонно возрастающей (убывающей ) на [a,b] н. и д., чтобы f¢(x)³0 (f¢(x)£0) на (a,b) и чтобы не существовало промежутка [a,b]Ì[a,b], на котором f¢(x)º0.

Доказательство. Необходимость.

Достаточность.

Следствие. Для непрерывной на [a,b], дифференцируемой на (a,b) функции f(x) условие f¢(x)>0 ( f¢(x)<0 ) на (a,b) влечет строгое монотонное возрастание ( убывание ).

Пример. Доказать, что для любого n функция fn(x) =x (p/2 - arctg nx ) строго монотонно возрастает на [0, +¥) и  .

f¢n(x) =  - arctg nx – =  - g(nx), где g(u) = arctg u + . Имеем

g¢(u)= . g(0) = 0, g(+¥) = p/2. Таким образом, g(nx) < p/2 и, следовательно, f¢n(x) =  - g(nx) > 0. Отсюда следует, что  Для вычисления последнего предела воспользуемся правилом Лопиталя

.

Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования с матрицей А = .

Запишем линейное преобразование в виде: _{Примеры решения задач Тройной интеграл Интегральное исчисление.}

Составим характеристическое уравнение:

_{Линейные уравнения и уравнения Бернулли. Уравнения в полных дифференциалах. Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике}

l² - 8l + 7 = 0;

Корни характеристического уравнения: l₁ = 7; l₂ = 1;

  Для корня l₁ = 7:

Из системы получается зависимость: x₁ – 2x₂ = 0. Собственные векторы для первого корня характеристического уравнения имеют координаты: (t; 0,5t) где t- параметр.