Математика курс лекций для технических университетов

Комплексные числа

Свойства комплексных чисел

Ниже перечисленные свойства проверяются исходя из определения операций сложения и умножения комплексных чисел.

1)  z1 +z2 = z1 + z2

2)  z1 +( z2 + z3) = (z1 + z2) + z3

3)  обозначим = (0, 0), тогда для любого z будет выполнено z +  = z

4)  "zÎC можно определить противоположный элемент -z=(-x,-y), который обладает следующим свойством z+(-z)=q

Можно доказать, что - единственный, противоположный для "z также единственен.

5)  z1 z2 = z2 z1

6)  z1 ( z2 z3) = (z1 z2) z3

7)  определим =(1,0) , тогда "z: z = z

8)  "z¹$ (обратный элемент) z-1: z z-1 =

  Существование обратного числа. Пусть z=(x,y). Будем искать число

z-1=(u,v), удовлетворяющее нужным свойствам: xu - yv=1,yu+xv=0 (z z-1 = ). Решая эту систему, получим u=x/(x2+y2),v=-y/(x2+y2).

Частное двух комплексных чисел определяется по формуле w/z=wz-1.

9)  z1(z2+z3)=z1z2+z1z3

 Определение. Если на плоскости задать конечное множество V точек и конечный набор линий Х, соединяющих некоторые пары из точек V, то полученная совокупность точек и линий будет называться графом.

 При этом элементы множества V называются вершинами графа, а элементы множества Х – ребрами.

 В множестве V могут встречаться одинаковые элементы, ребра, соединяющие одинаковые элементы называются петлями. Одинаковые пары в множестве Х называются кратными (или параллельными) ребрами. Количество одинаковых пар

(v, w) в Х называется кратностью ребра (v, w). Примеры решения задач Условный экстремум Интегральное исчисление.

 Множество V и набор Х определяют граф с кратными ребрами – псевдограф. Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике Найти модуль и аргумент чисел  и . Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.

G = (V, X)

 Псевдограф без петель называется мультиграфом.

 Если в наборе Х ни одна пара не встречается более одного раза, то мультиграф называется графом.

 Если пары в наборе Х являются упорядочными, то граф называется ориентированным или орграфом.