Математика конспекты Определенные и неопределенные интегралы

Определенный интеграл

Суммы Дарбу и их свойства

Определения.

Пусть функция f(x) определена на [a,b] и D={a=x0< x1<…< xn=b} разбиение отрезка [a,b]. Нижней суммой Дарбу называется сумма

s(f,D)=, mk =.

Верхней суммой Дарбу называется сумма

S(f,D)=, Mk =.

Геометрический смысл сумм Дарбу см. файл 2_2_1.swf.

2.Свойства сумм Дарбу.

Определение. Если разбиение D2 получено из разбиения D1 добавлением некоторого числа узлов, то говорят, что разбиение D2 следует за разбиением D1 (или D2 является более мелким, чем D1), при этом пишут D1  D2 .

Для любого разбиения D и набора промежуточных точек xÎD имеют место соотношения

s(f,D) £ s( f,D,x) £ S(f,D), s(f,D) = s( f,D,x), S(f,D) = s( f,D,x).

Следует непосредственно из определения интегральных сумм и сумм Дарбу.

2) Если D1  D2 два разбиения данного отрезка, то

s(f,D1) £ s(f,D2) , S(f,D2) £ S(f,D1) .

Другими словами, при измельчении разбиения нижние суммы могут только возрасти, а верхние суммы могут только уменьшиться. Это утверждение достаточно доказать для случая, когда второе разбиение получено из первого добавление всего одной точки. Пусть новая точка появилась на отрезке [x¢k, x¢k+1]. Таким образом, во втором разбиении эта точка будет иметь номер k+1 и [x¢k, x¢k+1] =[x¢¢k, x¢¢k+1] È[x¢¢k+1, x¢¢k+2] (см. рисунок Дарбу2.swf из файла иллюстраций к курсу). Рассмотрим нижние суммы Дарбу. Нижняя грань по всему множеству [x¢k, x¢k+1] будет меньше или равна, чем нижняя грань по части этого множества, поэтому m¢k£ m¢¢k , m¢k£ m¢¢k+1 . Отличие сумм s(f,D1), s(f,D2) состоит в том, что во второй сумме вместо слагаемого m¢k(x¢k+1 - x¢k) появились два слагаемых m¢¢k D¢¢k+ m¢¢k+1 D ¢¢k+1. Таким образом, разность сумм

s(f,D2) - s(f,D1) = m¢¢k D¢¢k + m¢¢k+1 D ¢¢k+1 - m¢k D¢k = m¢¢k D¢¢k + m¢¢k+1 D ¢¢k+1  -

- m¢k (D¢¢k +D ¢¢k+1) = (m¢¢k - m¢k) D¢¢k +( m¢¢k+1 - m¢k ) D ¢¢k+1 ³ 0.

Здесь D¢k = x¢k+1 - x¢k = x¢¢k+2 - x¢¢k = x¢¢k+2 - x¢¢k+1 + x¢¢k+1 - x¢¢k = D¢¢k+1 +D ¢¢k .

Аналогично доказывается утверждение для верхних сумм Дарбу.

Для любых разбиений D1 ,D2 данного отрезка справедливо неравенство

s(f,D1) £ S(f,D2).

Обозначим через D3 = D1 ÈD2 разбиение, образованное всеми узлами двух исходных разбиений. Очевидно D1  D3 , D2  D3 . Тогда, как это следует из предыдущего свойства

s(f,D1) £ s(f,D3) £ S(f,D3) £ S(f,D2),

откуда и следует доказываемое неравенство.

Математика MATLAB

Отличия новой реализации MATLAB 6 от предшествующих версий 5.* настолько значительны, что вряд ли стоит пользоваться настоящим изданием для знакомства с предшествующими версиями MATLAB. Читателям, использующим MATLAB 5.*, в том числе любителям Macintosh, VAX/micro VAX и SunOS, можно рекомендовать уже упомянутую ранее изданную литературу по этим системам, все еще верой и правдой служащим многим пользователям. MATLAB 5 — развивающаяся система, которая будет обслуживать пользователей RISC- и VAX-станций Compaq в системах реального времени, пользователей компьютеров Apple, компьютеров на базе процессоров семейства Motorola 68000 и всех тех, кому важна совместимость с Macintosh, Next или RISC-серверами и рабочими станциями под управлением OpenVMS. Новейшие патчи к системам MATLAB 5 можно всегда получить с web-узла фирмы Math Works. Технологическое оборудование атомной станции Атомная промышленость Цилиндрические координаты Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике

Оглавление книги может служить подробным тематическим указателем, а помещенный в конце книги алфавитный указатель поможет читателю быстро найти интересующие его сведения. Операторы и функции MATLAB 6 описаны настолько подробно, что книга может служить руководством пользователя по этой системе и выполнять функции самоучителя. В целом книга имеет вполне законченный характер и полезна всем, кто собирается изучать или уже использует любую реализацию системы MATLAB 6.