Математика конспекты Определенные и неопределенные интегралы

 Интегральное исчисление

Разложение рациональной функции на простейшие дроби и их интегрирование

Разложение дроби на элементарные

Лемма 1. Пусть правильная дробь и a – вещественный корень многочлена Q(x), т.е. Q(x)=(x-a)aQ1(x), Q1(a)¹0,a³1. Тогда существует A и многочлен P1(x) такие, что

 ,

где - правильная дробь.

Доказательство:  Рассмотрим разность (A - некоторое, пока неопределенное число)

.

Дробь справа правильная, так как порядок P(x) и AQ1(x) меньше порядка знаменателя. Положим , тогда для числителя число a будет корнем P-AQ1=(x-a)P1(x), что и требовалось доказать.

Лемма 2. Пусть правильная дробь и w=u+iv (v¹0) – комплексный корень многочлена Q(x), т.е. Q(x)=(x2+px+q)bQ1(x), Q1(w)¹0,b ³1. Тогда существуют вещественные числа M, N и многочлен P1(x) с вещественными коэффициентами  такие, что

 ,

где - правильная дробь.

Теорема. Пусть P(x)/Q(x) – правильная дробь, P, Q – многочлены с вещественными коэффициентами, старший коэффициент Q равен 1 и

разложение многочлена по парно простым корням

a1,a2,…,ar,w1,w2,…,ws, (x-wk)(x-)=x2+pkx+qk

кратностей a1,…,ar,b1,…,bs . Тогда существуют вещественные числа такие, что справедлива формула

=+…+++…+ (*)

Доказательство. По лемме 1

=++…++.

В последнем слагаемом знаменатель имеет только комплексные корни и к нему применяется лемма 2. В результате, появляется последняя серия слагаемых, соответствующих комплексным корням.

Определение. Дроби вида

называются элементарными.

Доказанная теорема утверждает, что всякая правильная дробь может быть разложена на элементарные дроби.

Математика MATLAB

Отличия новой реализации MATLAB 6 от предшествующих версий 5.* настолько значительны, что вряд ли стоит пользоваться настоящим изданием для знакомства с предшествующими версиями MATLAB. Читателям, использующим MATLAB 5.*, в том числе любителям Macintosh, VAX/micro VAX и SunOS, можно рекомендовать уже упомянутую ранее изданную литературу по этим системам, все еще верой и правдой служащим многим пользователям. MATLAB 5 — развивающаяся система, которая будет обслуживать пользователей RISC- и VAX-станций Compaq в системах реального времени, пользователей компьютеров Apple, компьютеров на базе процессоров семейства Motorola 68000 и всех тех, кому важна совместимость с Macintosh, Next или RISC-серверами и рабочими станциями под управлением OpenVMS. Новейшие патчи к системам MATLAB 5 можно всегда получить с web-узла фирмы Math Works. Технологическое оборудование атомной станции Атомная промышленость Цилиндрические координаты Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике

Оглавление книги может служить подробным тематическим указателем, а помещенный в конце книги алфавитный указатель поможет читателю быстро найти интересующие его сведения. Операторы и функции MATLAB 6 описаны настолько подробно, что книга может служить руководством пользователя по этой системе и выполнять функции самоучителя. В целом книга имеет вполне законченный характер и полезна всем, кто собирается изучать или уже использует любую реализацию системы MATLAB 6.