Математика лекции и задачи "Вычисление интегралов" Теория поля

Двойной интеграл

Определение двойного интеграла Для квадрируемой области D ее площадь будем обозначать mD . Пусть f(x,y) ограниченная функция, определенная в области D (область также ограничена). Разобьем область D на части непрерывными линиями так, чтобы каждая из полученных таким образом подобластей Di была квадрируема (см. рис. ch1_1_1.swf). Полученный набор областей Dk , k=0,1,…,n-1 называется разбиением области D={Dk}. В каждой из подобластей выберем точку Mk=(xk,hk)ÎDk. Полученный набор точек обозначим X ={Mk}. Если функция f(x,y) определена на D, то интегральной суммой для набора f, D, X называется выражение

 (1)

Суммы Дарбу и их свойства Определения

Критерий интегрируемости Нижний и верхний интегралы

Критерий интегрируемости. Теорема Дарбу

Классы интегрируемых функций

Свойства определенного интеграла

Теоремы о среднем, аддитивность по множеству

Вычисление двойных интегралов

Интегрирование по прямоугольнику.

Интегрирование по области, представляющей собой криволинейную трапецию

Замена переменных в двойном интеграле

Отображение плоских областей. Криволинейные координаты

Изменение площади при отображениях

Тройные и n-кратные интегралы

Определение тройного и n-кратного интеграла

Пусть D кубируема, ее площадь будем обозначать mD , функция f(M)=f(x,y,z) определенная и ограничена в области D. Предположим, что D разбита на кубируемые части Dk (совокупность {Dk} называется разбиением области D). В каждой из подобластей выберем точку Mk=(xk,hk,zk)ÎDk. Полученный набор точек обозначим X ={Mk}. Интегральной суммой для набора f, D, X называется выражение

 (1)

Суммирование производится по всем областям разбиения. Величина l(D)=d Dk называется характеристикой разбиения D (d Dk – диаметр множества ). Условие MkÎDk, для всех k мы будем обозначать XÎD.

Определение. Предел интегральных сумм s(f,D, X) при l(D)®0 (если он существует и не зависит от выбора разбиений и промежуточных точек ) называется тройным интегралом от функции f на D и обозначается

=.

Сведение тройного интеграла к повторному для прямоугольного параллелепипеда

Сведение тройного интеграла к повторному для областей общего вида

Замена переменных в тройном интеграле

Наиболее употребительные случаи криволинейных координат в пространстве

Замена переменных в тройном и n-кратном интеграле

Пример Цилиндрические координаты

Пример 2. Сферические координаты

Замена переменных в общем случае

Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы

Криволинейные интегралы 1-го рода

Определение, существование

Рассмотрим спрямляемую кривую g и функцию f(x,y,z), определенную на этой кривой

«Упорядоченный вдоль кривой» набор точек {Ak}, k=0,1,…,n называется разбиением кривой D={Ak} . На каждой дуге Ak Ak+1 задана промежуточная точка Mk=(xk , hk , zk ), X={ Mk }, обозначим длину дуги Ak Ak+1 через lk . Характеристикой разбиения D назовем величину l(D) = max lk . Составим интегральные суммы следующего вида

s(f,D,X)= (1).

Предел сумм (1) при стремлении к нулю характеристики разбиения l(D), при условии существования этого предела и независимости его от выбора промежуточных точек, называется криволинейным интегралом 1-го рода и обозначается

.

Точное определение на кванторах дается так же, как и для обычного интеграла.

Свойства криволинейного интеграла 1-го рода

Криволинейные интегралы 2-го рода

Определение, существование

Свойства криволинейного интеграла 2-го рода

Связь с интегралом 1-го рода

Формула Грина

Условия независимости интеграла второго рода от пути интегрирования

Поверхностные интегралы 1-го рода

Вычисление площади поверхности, заданной параметрически

Определение поверхностного интеграла 1-го рода

Существование и вычисление интеграла 1-го рода

Поверхность задана параметрически

Простейшие свойства интегралов первого рода

Поверхностные интегралы 2-го рода

Определение поверхностного интеграла 2-го рода

Существование и вычисление поверхностного интеграла 2-го рода

Связь с интегралом 1-го рода

Простейшие свойства поверхностного интеграла 2-го рода

Формула Стокса

Общий случай

Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования

Формула Остроградского Гаусса

Пример

Элементы теории поля

Введение

Функция u(x,y,z) , заданная в области D будет называться скалярным полем. О векторном поле V=(P,Q,R) речь уже шла в предыдущих параграфах. Ранее было введено понятие градиента скалярного поля V = grad u , который является векторным полем. Функция u называется потенциалом векторного поля, а само поле называется потенциальным. Связь между потенциалом и координатами векторного поля задается соотношением du=Pdx+Qdy+Rdz . Интеграл (V, ds) для замкнутой кривой С называется циркуляцией векторного поля по C. Замкнутая кривая зачастую называется контуром, а интеграл по контуру обозначается (V, ds) и представляет собой работу векторного поля вдоль этого контура. Поле называется безвихревым, если его ротор равен нулю.

Теорема (Условия потенциальности поля) . Пусть в поверхностно односвязной области D задано непрерывно дифференцируемое поле V=(P,Q,R). Тогда эквивалентны следующие три условия

Циркуляция векторного поля (V, ds) равна нулю вдоль любого контура, лежащего в D.

Поле V потенциальное, т. е. существует дважды непрерывно дифференцируемая функция, градиентом которой и является данное поле. При этом (V, ds) = u(B) - u(A).

Поле V безвихревое.

Поток векторного поля

Формула Остроградского Гаусса

Теорема

Дифференциальные операторы

Дифференциальные операторы 1-го порядка

примеры

Дифференциальные операторы 2-го порядка

Преобразования базисов и координат, криволинейные координаты

Преобразования базисов и координат

Преобразование координат

Выражение операций теории поля в криволинейных координатах

Выражение градиента в криволинейных координатах

Выражение ротора в криволинейных координатах

Выражение операций теории поля в цилиндрических координатах

Выражение градиента в цилиндрических координатах

Выражение ротора в цилиндрических координатах

Выражение оператора Лапласа в цилиндрических координатах

Выражение градиента в сферических координатах

Выражение ротора в сферических координатах

Интегралы, зависящие от параметра

Собственные интегралы, зависящие от параметра

Интегрирование интегралов зависящих от параметра

Теорема

Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра

Теорема

Несобственные интегралы, зависящие от параметра

Теорема

Непрерывность интеграла от параметра

Некоторые свойства функций Эйлера

Примеры вычисления несобственных интегралов, зависящих от параметра

Интеграл Пуассона

Элементы тензорного исчисления

Линейные функционалы. Сопряженное пространство

Определение линейного функционала

Пусть Х – линейное пространство, т. е. множество элементов, среди которых определены две операции: операция сложения x+y для любых двух элементов и операция умножения любого элемента из Х на вещественное или комплексное число ax , удовлетворяющие аксиомам линейного пространства.

Линейный функционал определяется, как отображение из Х в R: y = f(x) , удовлетворяющее свойству f(ax+by)=af(x)+bf(y).

Функционалы можно складывать и умножать на числа. Так, если даны два функционала f1 (x), f2 (x), то сумма определяется по формуле

f (x) = f1 (x)+ f2 (x).

Аналогично определятся функционал

f (x) =a f1 (x).

Можно проверить, что множество всех линейных функционалов над линейным пространством Х с этими операциями сложения функционалов и умножения функционала на число является линейным пространством. Для этого нужно убедиться, что указанные выше операции удовлетворяют следующим свойствам:

для любых функционалов g и f справедливо равенство

f + g = g + f

для любых функционалов f , g , h справедливо равенство

( f + g ) + h = f + ( g + h )

для любых чисел a , b и любого функционала f справедливы равенства

(ab) f=a (b f) , (a+b) f = a f +b f

для любых функционалов f , g и любого числа a имеет место равенство

a ( f + g ) = a f + a g

существует нулевой функционал 0 такой, что для любого функционала f справедливо равенство

0 + f = f

для любого функционала f существует противоположный функционал, обозначаемый –f и удовлетворяющий свойству

f + (–f ) = 0

для любого функционала f выполнено:

1 f = f

Примеры линейных функционалов

Линейное пространство со скалярным произведением называется евклидовым пространством

Формулы преобразования координат

Тензоры

Основные операции над тензорами

Операции симметрирования и альтернирования

Метрический тензор

Полилинейные формы и их связь с тензорами