Математика лекции и задачи "Вычисление интегралов"

Кратные интегралы

Тройные и n-кратные интегралы

Сведение тройного интеграла к повторному для прямоугольного параллелепипеда

Пусть V – прямоугольный параллелепипед [a,b]´ [c,d] ´ [g,h] и функция f(x,y,z) определена на V. Обозначим прямоугольник [c,d] ´ [g,h] через D.

Теорема. Если существует  и для любого xÎ[a,b] существует , то существует интеграл  и имеет место равенство

=.

(здесь и в дальнейшем используются обозначения= )

Доказательство. Рассмотрим разбиение D области V :

D={a=x0<…<xn=b;c=y0<…<ym=d;g=z0<…<zl=h}.

Полученные подобласти обозначим Vijk=[xi,xi+1]´[yj,yj+1]´[zk,zk+1],i=0,…,n-1,j=0,…,m-1,z=0,…,l-1. Кроме того будем использовать обозначения X=(x,y,z)

mijk=, Mijk=. Для набора промежуточных точек {x i }, x i Î [xi,xi+1] будут выполнены неравенства

mijk Dyj Dzk £ £ Mijk Dyj Dzk,

  mijk Dyj Dzk £ £  Mijk Dyj Dzk,

Домножая последние неравенства на Dxi и суммируя, получим

  mijk Dxi Dyj Dzk £ £  Mijk Dxi Dyj Dzk .

Средняя сумма является интегральной суммой для интеграла , крайние суммы являются суммами Дарбу для интеграла , откуда и следует требуемое равенство.

Аналогичные теоремы можно доказать для других порядков интегрирования. Таким образом, при выполнении соответствующих условий получаются равенства вида

=,

=,

=.

В свою очередь внутренние двойные интегралы можно представить в виде повторных. Для первого из написанных соотношений это будет выглядеть следующим образом

=,

=.

(используются обозначения= )

Теперь можно собирать внешние повторные интегралы в двойные, в результате получаться три равенства

=,

=,

=,

Здесь через Dxy , Dzx , Dyz – обозначены прямоугольники [a,b]´ [c,d], [g,h] ´ [a,b], [c,d] ´ [g,h].

Математика MATLAB

MATLAB в роли суперкалькулятора

Система MATLAB создана таким образом, что любые (подчас весьма сложные) вычисления можно выполнять в режиме прямых вычислений, то есть без подготовки программы. Это превращает MATLAB в необычайно мощный калькулятор, который способен производить не только обычные для калькуляторов вычисления (например, выполнять арифметические операции и вычислять элементарные функции), но и операции с векторами и матрицами, комплексными числами, рядами и полиномами. Можно почти мгновенно задать и вывести графики различных функций — от простой синусоиды до сложной трехмерной фигуры. Лекции по физике , математике, информатике примеры решения задач Тройной интеграл равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой точке области интегрирования на объем области интегрирования, Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике
Работа с системой в режиме прямых вычислений носит диалоговый характер и происходит по правилу «задал вопрос, получил ответ». Пользователь набирает на клавиатуре вычисляемое выражение, редактирует его (если нужно) в командной строке и завершает ввод нажатием клавиши ENTER. В качестве примера на рис. 2.9 уже были показаны простейшие вычисления — вычисление выражения 2+3 и значения sin(l).
Даже из таких простых примеров можно сделать некоторые поучительные выводы: