Математика лекции и задачи "Вычисление интегралов"

Замена переменных в тройном интеграле

1.Отображение областей. Криволинейные координаты

Рассмотрим область V в системе координат (x,y,z) и область D в системе координат (x1,x2,x3) .

Кроме того, пусть задано взаимно-однозначное соответствие между этими областями, осуществляемое регулярным отображением ( регулярное – взаимно-однозначное и такое, что прямое и обратное непрерывно дифференцируемы )

  (1)

Будем предполагать, что матрица Якоби отображения (1) не вырождена всюду в области D. Наборы координат (x,y,z) и (x1,x2,x3) удобно интерпретировать следующим образом: каждая точка M из области V определяется, как ее исходными ( в дальнейшем это будут декартовы координаты ) координатами, так и координатами (x1,x2,x3), которые в отличии от исходных координат называются криволинейными координатами. В основе этой терминологии лежит геометрический подход. Так, если в (1) фиксировать две из трех координат x1,x2,x3, то получим линию, которая называется координатной линией. Множество всевозможных линий, полученных фиксированием второй и третьей координат обозначим S1 (параметром линии служит первая координата x1 ). Аналогично определяются еще два семейства линий S2 , S3 . При сделанных предположениях через каждую точку будет проходить ровно по одной линии из этих семейств. Таким образом задание точки однозначно определяется заданием трех линий l1ÎS1, l2ÎS2, l3ÎS3 . Наряду с координатными линиями можно рассматривать координатные поверхности, которые получаются, если в (1) фиксировать одну из координат, а остальные две использовать для параметрического задания поверхности.

 Рассмотрим три координатные линии, проходящие через заданную точку области V

Касательные вектора в точке пересечения этих линий обозначим через

  (2)

Эти вектора образуют базис, так как они не компланарны

.

Для данного базиса единственным образом можно определить базис 1, 2, 3 такой, что (,j)=. Такой базис называется взаимным. Векторы взаимного базиса определяются по формулам

1=,2=,3=. (3)

 

 

 

Определение. Криволинейная система координат (1) называется ортогональной, если в каждой точке области V базис (2) является ортогональным.

В случае ортогональной системы координат формулы (3) упрощаются. Будем предполагать, что тройка  правая. Положим H1=, H2=, H3=, величины H1, H2, H3 называются коэффициентами Ламе. В силу ортогональности ( тройка правая )

= H1 H2 H3 , = H2 H3,= H3 H1,= H1 H2.

Откуда следует, что

= , = , =.

Математика MATLAB

MATLAB в роли суперкалькулятора

Система MATLAB создана таким образом, что любые (подчас весьма сложные) вычисления можно выполнять в режиме прямых вычислений, то есть без подготовки программы. Это превращает MATLAB в необычайно мощный калькулятор, который способен производить не только обычные для калькуляторов вычисления (например, выполнять арифметические операции и вычислять элементарные функции), но и операции с векторами и матрицами, комплексными числами, рядами и полиномами. Можно почти мгновенно задать и вывести графики различных функций — от простой синусоиды до сложной трехмерной фигуры. Лекции по физике , математике, информатике примеры решения задач Тройной интеграл равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой точке области интегрирования на объем области интегрирования, Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике
Работа с системой в режиме прямых вычислений носит диалоговый характер и происходит по правилу «задал вопрос, получил ответ». Пользователь набирает на клавиатуре вычисляемое выражение, редактирует его (если нужно) в командной строке и завершает ввод нажатием клавиши ENTER. В качестве примера на рис. 2.9 уже были показаны простейшие вычисления — вычисление выражения 2+3 и значения sin(l).
Даже из таких простых примеров можно сделать некоторые поучительные выводы: