Математика лекции и задачи "Вычисление интегралов"

Кратные интегралы. Двойной интеграл

Критерий интегрируемости Нижний и верхний интегралы.

Определение. Пусть D={Dk}. Колебанием функции f(x) на множестве Dk будем называть величину

wk (f) = sup |f(P) – f(Q)| = Mk – mk , где точная верхняя грань берется по всевозможным P, Q из Dk , mk =, Mk =.

отметим, что

S(f,D) - s(f,D) =.

Определение. Нижним интегралом называется точная верхняя грань нижних сумм Дарбу = sup s(f,D). Верхняя грань берется во всевозможным разбиениям области D. Аналогично определяется верхний интеграл , как точная нижняя грань верхних сумм Дарбу = inf S(f,D).

Отметим, что для ограниченной функции существует, как нижний, так и верхний интегралы. Это следует из того, что множество значений нижних сумм Дарбу ограничено сверху, например, значением любой верхней суммы Дарбу. Тоже самое можно сказать об ограниченности снизу множества значений верхних сумм Дарбу.

Теорема. Для любого разбиения D данного отрезка справедливы неравенства

s(f,D) £ £ £ S(f,D).

Доказательство. Не очевидным является только неравенство £ . Предположим противное, т.е., что  < . Выберем непересекающиеся e окрестности точек , , +e <- e. По определениям точных граней найдутся два разбиения D1 , D2 такие, что S(f,D1)< +e <- e < s(f,D2), что противоречит свойству сумм Дарбу.

 

Математика MATLAB

Отличия новой реализации MATLAB 6 от предшествующих версий 5.* настолько значительны, что вряд ли стоит пользоваться настоящим изданием для знакомства с предшествующими версиями MATLAB. Читателям, использующим MATLAB 5.*, в том числе любителям Macintosh, VAX/micro VAX и SunOS, можно рекомендовать уже упомянутую ранее изданную литературу по этим системам, все еще верой и правдой служащим многим пользователям. MATLAB 5 — развивающаяся система, которая будет обслуживать пользователей RISC- и VAX-станций Compaq в системах реального времени, пользователей компьютеров Apple, компьютеров на базе процессоров семейства Motorola 68000 и всех тех, кому важна совместимость с Macintosh, Next или RISC-серверами и рабочими станциями под управлением OpenVMS. Новейшие патчи к системам MATLAB 5 можно всегда получить с web-узла фирмы Math Works. Технологическое оборудование атомной станции Атомная промышленость Цилиндрические координаты Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике

Оглавление книги может служить подробным тематическим указателем, а помещенный в конце книги алфавитный указатель поможет читателю быстро найти интересующие его сведения. Операторы и функции MATLAB 6 описаны настолько подробно, что книга может служить руководством пользователя по этой системе и выполнять функции самоучителя. В целом книга имеет вполне законченный характер и полезна всем, кто собирается изучать или уже использует любую реализацию системы MATLAB 6.