Математика лекции и задачи "Вычисление интегралов"

Кратные интегралы. Двойной интеграл

Критерий интегрируемости. Теорема Дарбу.

Теорема Дарбу. Для того, чтобы ограниченная функция была интегрируемой на D, необходимо и достаточно, чтобы разность сумм Дарбу

S(f,D) - s(f,D) ® 0 при l(D)®0.

Т. е.

$  Û  "e>0$d>0"D,l(D)<d: S(f,D) - s(f,D)<e.

Доказательство. Необходимость. Пусть интегрируема и J=. Возьмем какое-либо e>0 для него $d>0 такое, что при l(D)<d будет выполнено неравенство

|J - s(f,D,X)|<e/3 ( независимо от выбора XÎD ).

так как s(f,D) = s( f,D, X), S(f,D) = s( f,D, X), то

 |S(f,D) - J|£ e /3, |J - s(f,D)|£ e /3

тогда

 |S(f,D) - s(f,D)|=|S(f,D) - J + J - s(f,D)| £ |S(f,D) - J| +| J - s(f,D)| £ 2e /3<e .

Достаточность. Разность сумм Дарбу может быть сделана сколь угодно малой выбором достаточно мелкого разбиения. Как уже отмечалось, нижний и верхний интегралы существуют и

s(f,D) £ £ £ S(f,D), = sup s(f,D), = inf S(f,D).

Так как  (S(f,D) - s(f,D)) = 0 , то = . Положим J = = , при этом |s(f,D,x) – J | £ S(f,D) - s(f,D). Откуда и следует требуемое утверждение.

Математика MATLAB

Отличия новой реализации MATLAB 6 от предшествующих версий 5.* настолько значительны, что вряд ли стоит пользоваться настоящим изданием для знакомства с предшествующими версиями MATLAB. Читателям, использующим MATLAB 5.*, в том числе любителям Macintosh, VAX/micro VAX и SunOS, можно рекомендовать уже упомянутую ранее изданную литературу по этим системам, все еще верой и правдой служащим многим пользователям. MATLAB 5 — развивающаяся система, которая будет обслуживать пользователей RISC- и VAX-станций Compaq в системах реального времени, пользователей компьютеров Apple, компьютеров на базе процессоров семейства Motorola 68000 и всех тех, кому важна совместимость с Macintosh, Next или RISC-серверами и рабочими станциями под управлением OpenVMS. Новейшие патчи к системам MATLAB 5 можно всегда получить с web-узла фирмы Math Works. Технологическое оборудование атомной станции Атомная промышленость Цилиндрические координаты Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике

Оглавление книги может служить подробным тематическим указателем, а помещенный в конце книги алфавитный указатель поможет читателю быстро найти интересующие его сведения. Операторы и функции MATLAB 6 описаны настолько подробно, что книга может служить руководством пользователя по этой системе и выполнять функции самоучителя. В целом книга имеет вполне законченный характер и полезна всем, кто собирается изучать или уже использует любую реализацию системы MATLAB 6.