Математика лекции и задачи "Вычисление интегралов"

Кратные интегралы. Двойной интеграл

Вычисление двойных интегралов Интегрирование по прямоугольнику.

Рассмотрим прямоугольник D=[a,b]´[c,d]={(x,y)|a £ x £ b, c £ y £ d }.

Теорема. Если f интегрируема на D и для "x существует =J(x), то существует и  и выполнено равенство

==.

Доказательство. Для заданных разбиений Dx={a=x0<…<xn=b}, Dy={c=y0<…<ym=d} рассмотрим разбиение D ={ Dij} области D, где Dij=[xi,xi+1]´ [yj, yj+1], введем обозначения mij=, Mij=, X={(xi, hj)}, xiÎ[xi, xi+1], hjÎ[yj, yj+1], Dxi=xi+1 – xi, Dyj=yj+1-yj . Тогда будут выполнены неравенства

mij £ f(x,y) £ Mij для (x,y)ÎDij (1) Теоретическая механика Сопротивление материалов. Математика, физика

mij Dyj £  £ Mij Dyj (2)

 £  £  (3)

Умножая неравенства (3) на Dxi и суммируя, получим

mij Dxi Dyj £ Dxi £ Mij Dxi Dyj .

При l(D)®0 суммы слева и справа (суммы Дарбу) будут сходиться к интегралу , средняя сумма представляет собой интегральную сумму для интеграла , откуда и следует требуемое утверждение.

Замечание. Аналогичное утверждение получается, если поменять местами x,y.

Если f интегрируема на D и для "y существует =I(y), то существует и  и выполнено равенство

==.

Следствие (перемена порядка интегрирования). Если f интегрируема на D и для "y существует =I(y), "x существует =J(x), то существуют,  и выполнено равенство

==.

Математика MATLAB

Отличия новой реализации MATLAB 6 от предшествующих версий 5.* настолько значительны, что вряд ли стоит пользоваться настоящим изданием для знакомства с предшествующими версиями MATLAB. Читателям, использующим MATLAB 5.*, в том числе любителям Macintosh, VAX/micro VAX и SunOS, можно рекомендовать уже упомянутую ранее изданную литературу по этим системам, все еще верой и правдой служащим многим пользователям. MATLAB 5 — развивающаяся система, которая будет обслуживать пользователей RISC- и VAX-станций Compaq в системах реального времени, пользователей компьютеров Apple, компьютеров на базе процессоров семейства Motorola 68000 и всех тех, кому важна совместимость с Macintosh, Next или RISC-серверами и рабочими станциями под управлением OpenVMS. Новейшие патчи к системам MATLAB 5 можно всегда получить с web-узла фирмы Math Works. Технологическое оборудование атомной станции Атомная промышленость Цилиндрические координаты Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике

Оглавление книги может служить подробным тематическим указателем, а помещенный в конце книги алфавитный указатель поможет читателю быстро найти интересующие его сведения. Операторы и функции MATLAB 6 описаны настолько подробно, что книга может служить руководством пользователя по этой системе и выполнять функции самоучителя. В целом книга имеет вполне законченный характер и полезна всем, кто собирается изучать или уже использует любую реализацию системы MATLAB 6.