Примеры решения задач типовых и курсовых расчетов по математике

Некоторые вопросы элементарной математики

Эквивалентные бесконечно малые. Применение эквивалентности при вычислении пределов функций

Основные формулы эквивалентности бесконечно малых.

Вторая группа формул связана с логарифмической функцией

Третья группа формул связана с показательной функцией

Четвертая группа формул связана со степенной функцией

Все эти четыре группы формул составляют таблицу эквивалентных бесконечно малых

Посмотрим на примерах, как применяются эти формулы Пример

Пример Найти пределы

Сравнение бесконечно малых

Пример. Пусть . Сравнить бесконечно малые  и .

 Пример Доказать, что приращение функций   и  при x>0 и при  будут одного порядка малости (, ). При каком значении x приращения  и  эквивалентны?

Пример Доказать, что при  функции  и  будут бесконечно малыми одного порядка. Будут ли они при этом эквивалентны?

Следует отметить, что все формулы эквивалентности можно использовать для приближенных вычислений.

Сравнение бесконечно малых

Комбинаторика

Число размещений (без повторений) из n элементов по к

Число сочетаний из n элементов по к

Размещения с повторениями

Размещения данного состава

Бином Ньютона

Примеры решения задач

Метод математической индукции

Теорема

Формула Тейлора

Примеры решения задач

Примеры решения задач

Вычислить с точностью 0,001: а) cos ; б) .

Квадратичные формы и их применение

Теория

Примеры

Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа

Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду

Построить в прямоугольной системе координат фигуру

Примеры решения задач типового расчета

Изменить порядок интегрирования

Повторный интеграл

Изменить порядок интегрирования

Изменить порядок интегрирования.

Вычислить.  

Вычислить  

Вычислить:  

вычислить:

Вычислить.   ; x=0; y=0; z=0;

Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями у=11 – х2; у= - 10х.

Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями

Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями: у2-4у+х2=0; у2-8у+х2=0; ;

Пластина D задана ограничивающими ее кривыми M--поверхностная плотность. Найти массу пластины.

Пластинка D заданна ограничивающими ее кривыми, m - поверхностная плотность. Найти массу пластинки.

Найти объем тела W, заданного ограничивающими его поверхностями:

Найти объем тела W, заданного ограничивающими его поверхностями

Найти объем тела W, заданного ограничивающими его плоскостями: х2+у2=5у; х2+у2=8у;

Найти объем тела W, заданного ограничивающими его поверхностями: х2+у2+2х=0; z=25/4 –y2; z=0.

Найти объем тела W, заданного ограничивающими его поверхностями

Найти объем тела W, заданного, ограничивающими его поверхностями .

Найти объем тела W, заданного ограничивающими его поверхностями z=10(x2+y2)+1; z=1-20y.

Тело W задано ограничивающими его поверхностями ,m - плотность. Найти массу тела.

Комплексные числа

Введем новое недействительное число, квадрат которого равен –1. Это число обозначим символом ί и назовем мнимой единицей.

Алгебраическая форма комплексного числа Геометрическое представление, тригонометрическая и показательная формы.

 Пример Выполнить действия:   b)

 Пример Решить квадратные уравнения:   b) 

 Пример . Данную дробь  представить в виде суммы более простых дробей.

Главное значение аргумента

Построить на комплексной плоскости и представить в тригонометрической и показательной формах следующие комплексные числа:

1)  2)   3)  4)  

Представить в показательной форме числа:   2) 

Действия над комплексными числами в тригонометрической и показательной формах

Пример Выполнить действия:

Пример Найти все значения корней:

 Пример Решить уравнение .

 Пример Доказать

Пример Доказать

Методы построения графика функции

Механический метод

Параллельный перенос

Пример. График функции  получаем из графика сжатием в 2 раза ( рис.6а ), а график функции  - из графика растяжением в 2 раза

Пример. График функции y=2sinx получаем из графика функции y=sinx растяжением от оси ОХ в 2 раза(рис.7а), а график функции  y=0,5sinx – сжатием к оси ОХ в 2 раза

Пример. График функции  ( рис.9б ) получаем с помощью графика функции (рис.9а). Верхняя часть графика сохраняется, а нижняя – отображается симметрично оси ОХ.

 Пример 3.1. Построить график функции . Решение. Эта функция вида , то есть четная функция и, следовательно, график ее симметричен относительно оси OY.

Пример 3.2. Построить график функции  .

Построение графика функции с помощью свойств элементарных функций

Пример 3.3. Построить график функции .

Пример 3.4. Построить график функции .

Пример 3.5. Построить график дробно-линейной функции .

Пример 3.6. Построить график функции .

Вычисление пределов функций

С помощью правила Лопиталя

Пример

Другие неопределенности

Пример Найти пределы

 Найти предел .

Пример Найти пределы:а) б)

Матрицы

Определители матриц

Свойства определителей

Методы вычисления определителей

Примеры

Используя метод обращения в нуль всех, кроме одного, элементов строки или столбца вычислить определитель матрицы

Используя метод приведения к треугольному виду вычислить определитель

Обратная матрица

Примеры

Решить матричное уравнение

Базисный минор, ранг матрицы

Примеры

Вычислить методом окаймления ранг матрицы

Непрерывность. Точки разрыва

Об асимптотах графика функции

Доказать, что функция  непрерывна в точке х0=3.

Исследовать на непрерывность и построить графики следующих функций:

а) ,

б) ,

в) ,

г) .

д) .

е) .

Исследовать функции на непрерывность, в точках устранимого разрыва доопределить функцию для устранения разрыва:

,

.

.

Указать значения параметров a и b, при которых функция непрерывна

Найти точки разрыва, уравнения асимптот функции  и построить ее график.

Применение формулы Тейлора при вычислении предела функции

Формула Тейлора

Разложить по формуле Тейлора функции

Представить в виде многочлена Тейлора функции

Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора

Вычислить пределы

Найти главные члены для функций  и  и найти предел .

Вычислить предел функции .

Найти предел функции .