

Исследование функции Пределы Производная График функции Векторная алгебра Линейные уравнения Матрицы Математический анализ Задачи на интеграл Интегральное исчисление Кратные интегралы Курсовые расчеты Инсталляции системы Запуск ОС Поддержка Plug and Play Интерфейс Панель управления Консоль управления Файловые системы FAT и FAT32 Информационные источники Сервер Web Работа в сетях Windows и Novell Интернет и почта Периферия и мультимедиа Работа с файлами Дополнительная конфигурация Конфигурирование X Windows Дистрибутив Служба удаленного доступа На главную Театр Ф. Шехтеля

Примеры решения задач типовых и курсовых расчетов по математике

Применение формулы Тейлора при вычислении предела функции

Пример Вычислить пределы.
а) , б) .
Решение. Отметим, что в обоих случаях мы имеем неопределенность .
а) Здесь применяем формулы 11 и 12.
Тогда
б) Так как ,
то
Так как ,
то
Получим
Отметим, что в рассмотренных примерах эквивалентность применялась, как и положено, ко всему числителю и ко всему знаменателю. Если эквивалентность применять к отдельным слагаемым в числителе или знаменателе, то можно допустить ошибку. Так, если в примере 19б) в числителе применить формулу эквивалентности и в знаменателе применить эквивалентность , то получим неверный результат:. На самом деле, как мы видели выше, предел этот равен . Применение эквивалентности к отдельным слагаемым может привести к серьезным ошибкам. Конечно, надежнее всего применять эквивалентность к числителю и знаменателю. Но это, чаще всего, не так просто сделать. Рассмотренный выше пример 5.3. был специально подобран так, чтобы это можно было сделать легко. Если применение эквивалентности для всего числителя (или знаменателя) затруднено, то следует применять сами формулы Тейлора. Весь вопрос в этом случае, сколько членов в формуле Тейлора взять за основу? Например, формулу 1 можно применить в виде: , или ,
или и т. д.
Надо помнить основное очень простое правило. Главным членом бесконечно малого многочлена, то есть стремящегося к нулю при , является младший член (с наименьшим показателем степени). Например, при главным членом многочлена является член -7х2 .
При применении формулы Тейлора к отдельным членам числителя (или знаменателя) надо выбирать столько членов для каждого слагаемого, чтобы не потерять главный член.

Методы построения графика функции

Будем считать, что графики основных элементарных функций известны студентам. Рассмотрим вопрос об использовании графиков элементарных функций при построении графиков более сложных функций.

Механический метод.

Так обычно называют способ построения графика функции, связанный с перемещением, деформацией и отображением графика элементарной функции. Пусть известен график некоторой функции .

Сначала рассмотрим метод перемещения.

1) Сдвиг по оси OX. График функции получается из графика известной функции сдвигом

( параллельным переносом ) вдоль оси OX на единиц. Пример. График функции ( рис. 3б) получается из графика функции ( рис.3а ) сдвигом вдоль оси OX на –4 единиц.

Рис.3а Рис.3б

Сдвиг по оси OY. График функции получается из графика функции сдвигом вдоль оси OY на единиц. Пример. График функции (Рис.4б) получаем из графика функции (Рис4а) сдвигом вдоль оси OY на –3 единиц.

Первый способ задания функции: табличный Степенная функция Обратные тригонометрические функции Определение непрерывности функции Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Производные функции, заданной параметрически Примеры исследования функций и построения графиков Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Тригонометрическая форма комплексного числа Изменить порядок интегрирования Вычислить двойной интеграл Вычисление тройных интегралов Сферические координаты Два основных метода интегрирования Замена переменных в двойном интеграле Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра Вселенский собор