Примеры решения задач типовых и курсовых расчетов по математике

Комплексные числа

Действия над комплексными числами в тригонометрической и показательной формах.

Умножение. Модуль произведения равен произведению модулей, аргумент произведения равен сумме аргументов:

  (2.15)

 

Деление. Модуль частного равен частному модулей, аргумент частного равен разности аргументов:

  (2.16)

Возведение в целую степень п. Модуль возводится в эту степень, аргумент умножается на п.

  (2.17)

Извлечение корня степени п. Извлекается арифметический корень из модуля, общее значение аргумента делится на п. Корень имеет ровно п различных значений, если

  (2.18)

Формулы (2.17) и (2.18) называются формулами Муавра.

 

Квадратичные формы и их применение

Определение. Квадратичной формой  переменных ,принимающих числовые значения , называется числовая функция вида

  ,

где - числа, называемые коэффициентами квадратичной формы. Уравнение поверхности в пространстве Любое уравнение, связывающее координаты x, y, z любой точки поверхности является уравнением этой поверхности.

Определение. Матрицей квадратичной формы  переменных , называется симметрическая матрица порядка , элементы главной диагонали которой совпадают с коэффициентами при квадратах переменных, а каждый недиагональный элемент, расположенный в ой строке ом столбце, равен половине коэфициента при  в квадратичной форме. Найти массу пластинки ():  , Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Определение. Рангом квадратичной формы называется ранг её матри-цы. Квадратичная форма может быть записана в матричном виде  где матрица квадратичной формы и .

Определение. Квадратичная форма называется канонической (имеет канонический вид), если коэфициенты при , то есть, если матрица квадратичной формы диагональная и  следовательно

.,

где не все коэффициенты  равны нулю.

Теорема (Лагранжа). Для всякой квадратичной формы существует такой базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид.

Определение. Нормальным видом квадратичной формы называется такой канонический вид, в котором коэффициенты при квадратах неизвестных (не считая нулевых) равны .

Определение. Квадратичная форма  называется положительно

(отрицательно) определённой, если  при всех

108

  и положительно (отрицательно) полуопределённой,если  при всех .

Теорема (критерий Сильвестра). Для того чтобы квадратичная форма  была положительно определённой, необходимо и достаточно чтобы все угловые миноры матрицы квадратичной формы были положительны,то есть, чтобы

Здесь -угловые миноры матрицы квадратичной формы.

Следствие. Для того чтобы квадратичная форма  была отрицательно определённой, необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров матрицы квадратичной формы чередовались следующим образом: