Сопротивление материалов Расчетно-графическое задание

Сопротивление материалов примеры решения задач

УСТОЙЧИВОСТЬ

На эту тему дается задача 10 в контрольной работе.

Расчет на устойчивость по коэффициенту  начинается с определения необходимых для дальнейшего расчета геометрических характеристик поперечного сечения стержня, выраженных через основной размер сечения (а или d): площади сечения F, минимального момента инерции Jmin и минимального радиуса инерции сечения 

 .

 Рис. 10.1

Для сечения в форме равнобедренного треугольника (рис. 10.1) минимальный момент инерции вычисляется по формуле

 

или по формуле

 .

 

и из двух выбирается наименьший.

Из условия устойчивости стержня  определяется необходимая площадь сечения стержня

, (10.1)

где  - коэффициент уменьшения основного допускаемого напряжения. Коэффициент  является функцией гибкости стержня  и задается в интервале   в табличной форме. Если же ,  (для стального стержня) можно определить по формуле (для стали Ст.5)

 (10.2)

Так как величина , удовлетворяющая условию устойчивости стержня, неизвестна, то ее определение, а следовательно и определение F по формуле (10.1), ведется методом последовательного приближения. В первом приближении задаем 1=0,5 и последовательно определяем F1 , основной размер сечения (а или d) из формулы для F, imin1, гибкость стержня , где l - длина стержня,  - коэффициент закрепления концов стержня. По найденной  из таблиц или по формуле (10.2) определяем1табл. Далее определяем степень расхождения значений 1 и 1табл

.

Если расхождение составляет более 5%, итерация повторяется с новым значением 2:

  .

Вновь последовательно определяется F2, imin2, ,  и . Итерация повторяется до тех пор, пока не получим . Площадь Fn сечения стержня считается найденной.

Далее определяется критическая нагрузка по формулам:

1) Эйлера , если ,

2) Ясинского , если ,

где а=310 МПа, b=1,14 МПа (для малоуглеродистой стали). 

Определяем коэффициент запаса устойчивости .

Задача 10.Устойчивость сжатого стержня.

Стальной стержень длиной l = 2,3 м сжимается силой Р = 300 кН. Условия закрепления стержня и форма его поперечного сечения показаны на рис.10.2. Требуется найти размеры поперечного сечения стержня, величину критической силы и коэффициент запаса устойчивости при допускаемом напряжении на сжатие   = 160 МПа.

Решение.

Главные моменты инерции сечения ,  равны:

.

Площадь сечения

.

Минимальный радиус инерции

.

Расчет производим последовательными приближениями, предварительно задавшись значением коэффициента уменьшения основного допускаемого напряжения . Сечение будем считать подобранным удовлетворительно, если действующее в стержне напряжение σ и допускаемое напряжение на устойчивость  отличаются не более чем на 5%.

В первом приближении задаемся . Тогда из условия устойчивости  находим:

Отсюда ; .

Гибкость стержня .

По значению l из таблица для коэффициентов j найдем соответствующее значение  при l = 190 j = 0,21; при l = 200 j = 0.19; используя процедуру линейной интерполяции, получаем:

;

.

В качестве второго приближения возьмем

.

Тогда , ,

, .

Из таблицы для коэффициента j подбираем:

,   МПа.

В третьем приближении принимаем

, ,

, , .

,   МПа.

Проверяем:

недонапряжение , что допустимо.

Критическая нагрузка может быть вычислена либо по формуле Эйлера: , при , либо по формуле Ясинского: , при .

Для малоуглеродистых сталей предельная гибкость  = 100,

а = 310 МПа, b =1.14 МПа, МПа. В нашем случае l = 153.3 > 100. Следовательно, критическая сила

Коэффициент запаса устойчивости равен:

.

В заключение следует отметить, что в большинстве случаев для достижения удовлетворительного результата достаточно двух-трех приближений. В тех случаях, когда в первом приближении получается слишком большая гибкость (l > 200), можно порекомендовать в качестве начального приближения принять j = 0.1... 0.2, либо воспользоваться приближенной формулой для вычисления j(l):

, где .

В частности, для малоуглеродистых сталей .


Определение реакций опор балки