Энергетический баланс в электрических цепях
Сопротивление материалов Расчетно-графическое задание

Сопротивление материалов примеры решения задач

Задача 2.Статически неопределимая стержневая система.

Абсолютно жесткий брус опирается на шарнирно неподвижную опору и прикреплен к двум стержням при помощи шарниров (рис. 2.1).

Требуется найти:

усилия и напряжения в стержнях, выразив их через силу Q;

допускаемую нагрузку [Q], приравняв большее из напряжений в двух стержнях допускаемому напряжению  = 160 МПа;

предельную грузоподъемность системы Qпр. и допускаемую нагрузку [Qпр], если предел текучести σт = 240 МПа и запас прочности n = 1,5; 

сравнить величины допускаемых нагрузок [Q] и [Qпр].

Исходные данные: а = 2,1 м, b = 2,4 м, с = 1,5 м, F = 12см2, Е = 2·105 МПа.

Рис. 2.1

Решение. Усилия N1, и N2 в стержнях АА1, и ВВ1, шарнирно прикрепленных по концам, направлены вдоль осей этих стержней. Реакция опоры К имеет горизонтальную составляющую НК, и вертикальную составляющую RК, т.к. эта опора препятствует горизонтальному и вертикальному перемещению точки К бруса.

Таким образом, всего имеется четыре неизвестные реакции (рис.2.2), а уравнений равновесия для плоской системы сил можно составить всего три. Следовательно, данная система один раз статически неопределима. Статически неопределимые системы рассчитывают путем совместного решения уравнений, полученных в результате рассмотрения статической, геометрической и физической сторон задачи.


1. Найдем усилия и напряжения в стержнях, выразив их через силу Q.

Статическая сторона задачи. По условию задачи необходимо определить усилия N1, и N2 стальных стержней АА1, и ВВ1, a в определений реакций НК, и RК нет необходимости. Поэтому достаточно из трех возможных уравнений равновесия использовать одно, в которое не входили бы реакция НК, и RК . Таким является уравнение в виде суммы моментов всех сил относительно шарнира К:

где .

Подставляя в уравнение значения h, b, с, получим

. (2.1)

Рис. 2.3


Геометрическая сторона задачи. Под действием внешней силы Q абсолютно жесткий брус повернется вокруг точки К. Шарниры А и В после деформации переходят в положение А2 и В2 соответственно, т.е. перемещаются по вертикали на величины δ1 и δ2 (рис.2.3).

Из подобия треугольников AA2К и ВВ2К находим

. (2.2)

Выразим укорочение  стержня АА1 и удлинение  стержня ВB1, через перемещения δ1 и δ2.

,

откуда

или с учетом равенства (2.2)

 (2.3)

Физическая сторона задачи. Используя закон Гука, записанный для абсолютных деформаций, выразим удлинения стержней через усилия

;

; (2.4)

Подставим выражения (2.3) в условие (2.4)

,

после сокращения получим

 (2.5)

Решаем совместно уравнения статики (2.1) и уравнение (2.5):

.

Определяем напряжения в стержнях 1 и 2:

,

 .

2. Найдем допускаемую нагрузку [Q], приравняв большее из напряжений в двух стержнях допускаемому напряжению  = 160 МПа.

,

откуда

 Н.

3. Найдем предельную грузоподъемность системы Qпр. и допускаемую нагрузку [Qпр], если предел текучести σТ = 240 МПа и запас прочности n = 1,5.

При увеличении нагрузки Q cверх значения [Q] напряжения в обоих стержнях сначала увеличивается прямо пропорционально нагрузке. При увеличении нагрузки до некоторой величины  напряжение σ2 во второй стержне достигают предела текучести σТ, а усилие N2 - предельного значения N2пр = c1·F. При этом напряжение σ1 в первом стержне остается меньше σТ. В процессе дальнейшего увеличения нагрузки напряжения во втором стержне остаются постоянными, равными пределу текучести, а в первом - возрастают, пока также не становятся равными σТ, усилие N1 при этом равно N1пр = σТ·2F. Это состояние системы называется предельным, соответствующим исчерпанию ее грузоподъемности. Дальнейшее, даже незначительное увеличение нагрузки связано с весьма большими деформациями системы. Величину Q, вызывающую предельное состояние, обозначают Qпр и называют предельной нагрузкой.

Для определения Qпр, подставим в уравнение (2.1) значения сил, соответствующих предельному состоянию, когда Q = Qпр, N1 = N1пр, N2 = N2пр:

,

откуда

 Н.

 Н.

4. Сравним величины допускаемых нагрузок [Q] и [Qпр]

 = 1,38.

Следовательно, при расчете на прочность данной системы по предельной нагрузке грузоподъемность ее увеличивается на 38%.


Определение реакций опор балки