Сопротивление материалов Расчетно-графическое задание

Сопротивление материалов примеры решения задач

Пример 4

 Горизонтальной платформе радиуса r весом Р, имеющей вертикальную ось, проходящую через центр платформы О, сообщается начальная угловая скорость w0. Человек А весом Q, находившийся в начальный момент в центре платформы, идет вдоль радиуса ОВ. Найти угловую скорость вращения платформы w при ОА=r, принимая платформу за однородный диск.

Решение. Используем для решения теорему об изменении кинетического момента относительно неподвижного центра

спроектируем это равенство на ось вращения Z

но , тогда Lz=const.

 В начальный момент

В конце движения

приравнивая правые части

и сократив на , получим 

откуда

 Итак, доказаны три теоремы динамики системы, которые ставят в соответствие векторные меры движения  и  векторным же мерам действия сил  и . Во всех трёх теоремах исключены внутренние силы.

Контрольные вопросы

 1. Как определяется момент силы относительно центра и оси?

 2. Как определяется момент количества движения материальной точки относительно центра и оси?

 3. Что такое кинетический момент механической системы?

 4. Как формулируются частные случаи теоремы моментов?

 Переходим к рассмотрению четвертой теоремы. Эта теорема по сравнению с тремя предыдущими имеет ряд особенностей: во-первых, она связывает между собой скалярные меры движения со скалярными мерами действия сил, во-вторых, в ней не исключены внутренние силы, и в-третьих, доказанная для одной точки, она распространяется на всю механическую систему.

Кинетическая энергия

 Кинетической энергией материальной точки будем называть половину произведения массы точки на квадрат её скорости:

Эта величина всегда положительна, и поэтому кинетическую энергию механической системы будем определять как арифметическую сумму кинетических энергий отдельных точек:

 Скалярной мере движения необходимо поставить в соответствие скалярную меру действия сил.

15. Работа и мощность силы

 Работу постоянной силы на конечном прямолинейном перемещении из точки М1 в точку М2 можно представить следующим образом:

или

где Fx, Fy, Fz – проекции вектора  на оси x, y, z;

 ∆x, ∆y, ∆z – проекции вектора  на те же оси.

Если же требуется определить работу на криволинейном перемещении точки приложения переменной силы, то следует всё это конечное перемещение разбить на бесконечно большое количество бесконечно малых участков, определить работу на каждом участке, а затем эти работы просуммировать.

 (24)

 Произведение под знаком суммы при бесконечном уменьшении   называется элементарной работой:

В общем случае выражение в правой части равенства не является полным дифференциалом некоторой функции координат, т. к. сила может быть функцией скорости или времени.

 Ещё одной скалярной мерой действия сил является мощность – это отношение элементарной работы к дифференциалу времени: , имея в виду, что , а , запишем:

, (25)

или

где  – проекции скорости на оси координат x, y, z.

16. Теорема об изменении кинетической энергии

Запишем основное уравнение динамики точки:

или

.

Умножим скалярно правую и левую части равенства на :

замечая, что , запишем:

.

Имея в виду, что

получим:

Так как масса точки во время движения не меняется, то

и окончательно получим:

 (26)

 Дифференциал кинетической энергии материальной точки равен элементарной работе сил, приложенных к точке.

 Разделив правую и левую части на dt, получим:

В правой части записано выражение, определяющее мощность всех сил, приложенных к материальной точке:

 (27)

 Таким образом, формулировка второй дифференциальной формы теоремы энергии может быть записана следующим образом: «Производная по времени от кинетической энергии материальной точки равна мощности сил, приложенных к точке».

 Третья, интегральная, форма теоремы может быть получена интегрированием правой и левой части равенства (18) в пределах от М1 до М2 по траектории перемещения материальной точки:

 (28)

 Правая часть равенства представляет собой работу сил, приложенных к точке, тогда

 (29)

т. е. изменение кинетической энергии материальной точки на некотором перемещении равно работе сил, приложенных к этой точке на том же перемещении.

 Следует заметить также, что интеграл в правой части равенства (28) в общем случае имеет вид

 Полученную теорему, не изменяя обозначений, можно распространить и на механическую систему, имея в виду, что кинетическая энергия определяется для всей системы, а работа подсчитывается для внешних и внутренних сил.


Определение реакций опор балки