Сопротивление материалов Расчетно-графическое задание

Сопротивление материалов примеры решения задач

 

Пример 5

 На шкив радиуса r весом Q, вращающийся вокруг горизонтальной оси О, навернута веревка, к концу которой привязана гиря весом Р; в начале система находится в покое. Найти угловую скорость шкива в тот момент, когда груз опустится на расстояние h.

Решение: Применим теорему об изменении кинетической энергии Т2-Т1=А1,2. Но Т1=0, тогда Т2=А1,2

Работу совершает только сила тяжести груза

Контрольные вопросы

 1. Что называется кинетической энергией материальной точки?

 2. Как определяется работа и мощность силы?

 3. Как определяется элементарная работа силы?

 4. Как формулируются дифференциальные и интегральная формы теоремы об изменении кинетической энергии?

Проекция силы на ось и плоскость.

Аналитический способ сложения сил

Задача 1. Найти сумму трех лежащих в одной плоскости сил (рис. 13, а ), если дано: F = 17,32 Н, T = 10 Н, P = 24 , j = 300, y = 600.

Решение

Вычисляем проекции заданных сил на координатные оси:

Fx = Fcosj = 17,32·0,866 = 15 Н, Tx = – Tcosy = – 10·0,5 = – 5 Н, Px = 0,

Fy = – Fsinj = 17,32·0,5 = – 8,66 Н, Ty = – Tsiny = 10·0,866 = 8,66 Н,

Py = – P = –24 Н.

Тогда по формулам (8)

Rx = 15 – 5 = 10 Н , Ry = – 8,66 + 8,66 – 24 = – 24 Н .

Следовательно

 Н ; cosa = 5 / 13 , cosb = – 12 / 13 .

Окончательно R = 26 Н, a = 67020/b = 157020/.

Для решения задачи геометрическим методом выберем соответствующий масштаб (например, в 1см – 10 Н) и построим из сил , , , силовой многоугольник (рис. 13, б). Его замыкающая ad определяет в данном масштабе модуль и направление . Если, например, при измерении получим ad ≈ 2,5 см, то R ≈ 25 Н с погрешностью по отношению к точному решению около 4 %.

 Рис. 13

Равновесие системы сходящихся сил

Пример. Рассмотрим брус АВ, закрепленный в точке А шарниром и опирающийся на выступ D (рис. 15).На этот брус действуют три силы: сила тяжести , реакция  выступа и реакция  шарнира. Так как брус находится в равновесии, то линии действия сил должны пересекаться в одной точке. Линии действия сил  и  известны и они пересекаются в точке К. Следовательно, линия действия реакции  тоже должна пройти через точку К, т. е. должна быть направлена вдоль прямой АК.

 Рис. 14 Рис. 15

Задача 2. Груз весом Р лежит на гладкой наклонной плоскости с углом наклона  (рис. 16, а). Определить значение горизонтальной силы , которую надо приложить к грузу, чтобы удержать его в равновесии, и найти, чему при этом равна сила давления  груза на плоскость.

Решение. Искомые силы действуют на разные тела: сила  на груз, сила  – на плоскость. Для решения задачи вместо силы  будем искать реакцию плоскости . , Q = N. Тогда заданная сила   и искомые силы  и  будут действовать на одно и то же тело на груз. Рассмотрим равновесие груза.

Геометрический способ. При равновесии треугольник, построенный из сил ,  и , должен быть замкнутым. Построение треугольника начнем с заданной силы. От произвольной точки a в выбранном масштабе откладываем силу  (рис. 16, б). Через начало и конец этой силы проводим прямые, параллельные направлениям сил  и . Точка пересечения этих прямых дает третью вершину c замкнутого силового треугольника abc, в котором стороны bc и ac равны в выбранном масштабе силам  и . Направление сил определяется правилом стрелок: так как равнодействующая равна нулю, то при обходе треугольника острия стрелок нигде не должны встречаться в одной точке. Модули искомых сил можно найти из треугольника abc путем численного расчета (в этом случае соблюдать масштаб при изображении сил не надо). Замечая, что Рbac = 900, Рabc = a получим F = Ptga , N = P / cosa (F / P = tga , P / N = cosa).

 Рис. 16

Аналитический способ. Так как система сходящихся сил является плоской, то для нее надо составить два условия равновесия (10)

.

Для этого сначала проводим координатные оси. Затем вычисляем проекции сил ,  и  на оси x и y и составляем уравнения, получим:

.

Решая эти уравнения, найдем:

 , .

Решение задач

Решение многих задач статики сводится к определению реакций опор, с помощью которых закрепляются балки и мостовые фермы.

В технике обычно встречаются три типа опорных закреплений (кроме рассмотренных в § 2):

1. Подвижная шарнирная опора (рис. 28, опора А). Реакция   такой опоры направлена по нормали к поверхности на которую опираются катки подвижной опоры.

2. Неподвижная шарнирная опора (рис. 28, опора В). Реакция   такой опоры проходит через ось шарнира и может иметь любое направление в плоскости чертежа. При решении задач будем реакцию  изображать ее составляющими  и  по направлениям координатных осей. Модуль   определим по формуле .

3. Жесткая заделка (рис. 29, а). Рассматривая заделанный конец балки и стену как одно целое, жесткую заделку изображают так, как показано на рис. 29, б. В этом случае на балку в ее поперечном сечении действует со стороны заделанного конца система распределенных сил (реакций). Считая эти силы приведенными к центру А сечения, можно их заменить одной силой   и парой с неизвестным моментом mA (рис. 29, а). Силу  можно изобразить ее составляющими ,  (рис. 29, б).

Таким образом, для нахождения реакции жесткой заделки надо определить три неизвестные величины XA, YA, mA.

 

 Рис. 28 Рис. 29

Отметим также, что в инженерных расчетах часто приходится встречаться с нагрузками, распределенными вдоль поверхности по тому или иному закону. Рассмотрим некоторые примеры распределенных сил.

Плоская система распределенных сил характеризуется ее интенсивностью q, т.е. значением силы, приходящейся на единицу длины нагруженного отрезка. Измеряется интенсивность в ньютонах, деленных на метры (Н/м).

а) Силы, равномерно распределенные вдоль отрезка прямой (рис. 30, а). Для такой системы интенсивность q имеет постоянное значение. При расчетах эту систему сил можно заменить равнодействующей . По модулю

Q = aq . (33)

Приложена сила Q в середине отрезка АВ.

б) Силы, распределенные вдоль отрезка прямой по линейному закону (рис. 30, б). Для этих сил интенсивность q является величиной переменной, растущей от нуля до максимального значения qm. Модуль равнодействующей   в этом случае определяется по формуле

Q = 0,5aqm . (34)

Приложена сила  на расстоянии а/3 от стороны ВС треугольника АВС.

 Рис. 30


Определение реакций опор балки