Сопротивление материалов Расчетно-графическое задание

Сопротивление материалов примеры решения задач

Определение реакций опор балки.

Пример выполнения задания

Балка, состоящая из трех прямолинейных стержней АС, СЕ и ЕВ, которые в точках С и Е жестко скреплены друг с другом, расположена в вертикальной плоскости. На балку действуют: пара сил с моментом М = 30 кН·м, распределенная нагрузка интенсивности q = 75 кН/м и еще две силы F1 = 40 кH и F2 = 50 кН. Распределенная нагрузка действует на участке СL. Определить реакции связей, вызванные заданными нагрузками. При расчетах принять а = 0,2 м.

Решение

Выполняем действия в соответствии с порядком решения задач статики. Активные силы F1 и F2, а также момент пары сил М на рисунке уже показаны, действие распределенной нагрузки на участке СL заменяем равнодействующей силой, величина которой равна Q = q ·= 15·3а = 45 кН, прикладывается сила Q в точке, делящей отрезок СL пополам. Объектом равновесия является балка (жесткая конструкция образуемая тремя стержнями).

На балку связи наложены в точках А и В, причем в точке А связью является шарнирно-неподвижная опора(цилиндрический шарнир или подшипник), в точке В – стержень, шарнирно закрепленный по обоим концам. Реакция шарнирно неподвижной опоры в точке А по направлению неизвестна, поэтому при решении задач на рисунке показываются две взаимно перпендикулярные составляющие реакции ХА и УА, реакция RВ стержня шарнирно закрепленного по обоим концам направлена вдоль стержня. Покажем на рисунке реакции связей и выберем оси координат с началом в точке А.

В результате получилось, что на изучаемый объект действует произвольная плоская система сил, для равновесия которой должны выполняться три условия равновесия.

Условия равновесия для балки запишем в виде уравнений проекций сил на оси координат Ах и Ау и уравнения моментов относительно точки А (выбор точки А для вычисления моментов удобен, так как моменты двух неизвестных по величине сил ХА и УА относительно точки А равны нулю и поэтому в уравнение моментов сил войдет лишь одна неизвестная сила RВ).

∑Fix = 0;

∑Fiy = 0;

= 0.

Для вычисления моментов сил F1 и RВ воспользуемся теоремой Вариньона, т.е.  разложим эти силы на составляющие ( и ), параллельные осям координат и будем вычислять сумму моментов составляющих сил F1x, F1у, RBx, RBу относительно точки А.

Проекции сил на оси координат равны

F1x = F1cos600 = 40·0,5 = 20 кН,

F1y = F1sin600 = 40·0,866 = 34,64 кН;

RBx = RBsin300,

RBy = RBcos300.

Уравнения равновесия имеют вид:

∑Fix = 0 XА + F1cos600 – F2 + RBsin300 = 0; (1)

∑Fiy = 0 YA – F1sin600 – Q + RBcos300 = 0; (2)

∑MAi = 0 –Q·(СL/2 +AC cos600)+F1x·AC sin600–F1y·(CL+AC cos600)–М–F2·(АС sin600+

+ЕК sin300)+RBx·(АС sin600+В sin300)+RBy·(ЕВcos300+CЕ +ACcos600) = 0. (3)

После подстановки числовых значений из уравнения (3) можно найти буквенное выражение для определения реакции RВ

При подстановке числовых значений получим

 40,59 кН

Тогда из уравнения (1) найдем реакцию ХА

XА = = – 40·0,5 +50 – 40,59∙0,5 = 9,705 кН,

 а из уравнения (2) - реакцию YА 

YA = = 40·0,866 + 45 - 40,59∙0,866 = 44,49 кН.

Если ответ получится со знаком минус, то это говорит о том, что реакция в действительности направлена в противоположную сторону.


Определение реакций опор балки