Сопротивление материалов Расчетно-графическое задание

Сопротивление материалов примеры решения задач

КИНЕМАТИКА

Определение кинематических характеристик движения материальной точки

Пример решения задания

По заданным уравнениям движения точки x(t) = 1- 3cos πt/6, y(t) = 2sin πt/6 (координаты х и у измеряются в см, время в сек) найти уравнение траектории точки, а также ее скорость, нормальное, касательное и полное ускорения, радиус кривизны траектории для момента времени t1 =1 с. На рисунке показать вид траектории и для заданного момента времени t1 =1 с в выбранном масштабе построить векторы скорости и ускорения точки.

Решение

1. Нахождение траектории движения точки М.

Для нахождения уравнения траектории, по которой движется точка, следует из уравнений движения исключить время. Исключим из заданных уравнений движения параметр t (время),

воспользовавшись известной формулой тригонометрии:

sin2 α + cos2 α = 1. (1)

Из уравнений движения точки выразим функции

cos πt/6 =  и sin πt/6 = ,

возведем эти выражения в квадрат и согласно выражению (1) сложим. В результате получим уравнение траектории движения точки

+   = 1. (2)

Уравнение (2) представляет собой каноническое уравнение эллип­са, центр которого находится в точке с координатами х = 1 см, у = 0 см (рис.5.1). Траекторией движения точки является весь эллипс.

 2. Построение траектории.

Построим на рисунке траекторию и отметим положение точки на траектории в данный момент времени t1 =1 с.

Для этого выберем масштаб, например,  и произведем построения

 

Рисунок 1

Путем подстановки в уравнения движения точки заданного момента времени t1 =1 с, определим положение точки на траектории х t = 1 c = – 1,598 см, у t = 1 c = 1,0 см

Рисунок 2

3. Нахождение величины скорости точки.

Для вычисления скорости точки, движение которой задано координатным способом, применяется формула

, (3)

где ,  - проекции вектора скорости точки на оси координат. Вычисляя производные от соответствующих уравнений движения точки по времени, получаем

 = ,

 = .

Вычислим величины проекций вектора скорости на оси координат в момент времени t = 1 с

  см/с,

  см/с,

а затем, подставляя величины ,  в (3), и величину скорости точки:

см/с.

Для того чтобы на рисунке построить вектор скорости точки, воспользуемся формулой

.

Выбираем масштаб и на рисунке из точки М параллельно осям координат в этом масштабе откладываем составляющие вектора скорости  и , а затем проводим вектор  (рисунок 3).

 

Рисунок 3

4. Нахождение величины вектора ускорения точки.

Величина ускорения точки при задании ее движения координатным способом вычисляется по формуле

, (4)

где ,  – проекции вектора ускорения точки на оси координат.

 = ,

  = .

При t = 1 с, имеем

= см/с,

=   см/с.

Тогда

= см/с2.

Применив формулу , построим на рисунке 4 вектор полного ускорения точки .

 

Рисунок 4

Ниже на рисунке 5 для момента времени t1 = 1 с показано положение точки М на траектории и выполнены построения векторов скорости и ускорения точки.

Рисунок 5

5. Вычислим проекции вектора ускорения на касательную (касательную составляющую вектора ускорения)

 = = 0,285см/с2

и на главную нормаль (нормальную составляющую вектора ускорения)

=   0,66 см/с2.

Из формулы  выразим, а затем вычислим радиус кривизны траектории точки в заданный момент времени

3,41 см.

На рисунке 6 выполнено разложение вектора ускорения точки на касательную и нормальную составляющие.

Рисунок 6

Ответ: уравнение траектории движения точки +  = 1;

величина скорости точки = 1,518см/с;

ускорения точки: - полное = 0,717 см/с2;

- касательное  = 0,285см/с2, 

- нормальное = 0,66 см/с2;

радиус кривизны траектории точки  = 3,41 см.


Определение реакций опор балки