Сопротивление материалов Расчетно-графическое задание

Сопротивление материалов примеры решения задач

ВНЕЦЕНТРЕННОЕ РАСТЯЖЕНИЕ-СЖАТИЕ

В контрольную работу на эту тему включена задача 8. При ее решении вначале надо определить положение центра тяжести сечения. Если сечение имеет оси симметрии, то они проходят через центр тяжести и, следовательно, координаты центра тяжести известны. Если же сечение не имеет осей симметрии, координаты центра тяжести определяются по формулам

в произвольно выбранных (вспомогательных) осях x, y, где F - площадь сечения, Sx ,Sy - статические моменты сечения относительно осей x, y. Если сечение состоит из простейших фигур, площади и положения центров тяжести которых известны, тогда статические моменты вычисляются по формулам

 и ,

где n - число простейших фигур сечения, Fi - площадь i-й фигуры, xci , yci - координаты центра тяжести i-й фигуры в вспомогательных осях x, y. Вычисленный центр тяжести (xc и yc) наносится на рисунок сечения и через него проводятся главные центральные оси x0 , y0. Если сечение имеет хотя бы одну ось симметрии, тогда одна из главных центральных осей совпадают с этой осью симметрии.

Напряжение  в произвольной точке сечения с координатами x, y в главных центральных осях определяется по формуле

Подпись:

где Р - сжимающая сила, xp, yp - координаты точки приложения силы Р в главных центральных осях, Jx, Jy - осевые моменты инерции сечения относительно главных центральных осей (главные моменты инерции).

Максимальные напряжения в сечении от действия силы Р возникают в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси. Положение нейтральной оси определяется отрезками ах и аy, которые нейтральная ось отсекает на главных центральных осях x0 , y0 при пересечении с ними. Эти отрезки определяются по формулам

 где .

В наиболее удаленной точке от нейтральной оси со стороны приложенной сжимающей силы Р возникает максимальное напряжение сжатия, а с противоположной стороны в наиболее удаленной точке - максимальное напряжение растяжения. Из условия равенства этих напряжений допускаемым напряжением определяем допускаемую нагрузку [Р].

При решении задачи 9 на совместное действие изгиба с кручением необходимо использовать принцип независимости действия сил, который в задаче 9 сводится к тому, что отдельно рассматриваются изгиб вала в вертикальной и горизонтальной плоскостях и кручение вала под действием приложенных к валу нагрузок, строятся эпюры изгибающих моментов Мверт (или Мх) и Мгор (или Мy) и эпюра крутящих моментов Мкр по длине вала. Далее определяется суммарный изгибающий момент  и строится его эпюра и, наконец, при помощи эпюр Ми и Мкр отыскивается опасное сечение вала и определяется максимальный расчетный момент в этом сечении (по четвертой теории прочности) по формуле . Из условия прочности подбираем диаметр вала  и округляем его величину.

Задача 8. Внецентренное сжатие.

Короткий чугунный стержень, поперечное сечение которого изображено на рис.8.1, а = 3 c м, b = 2 см, сжимается продольной силой Р , приложенной в точке А . Допускаемые нормальные напряжения: на сжатие МПа; на растяжение МПа.

Требуется:

1) вычислить наибольшее растягивающее и наибольшее сжимающее напряжения в поперечном сечении, выразив величины этих напряжений через Р ;

2) найти допускаемую нагрузку [ Р ] при заданных размерах сечения и допускаемых напряжениях чугуна на сжатие и на растяжение .

Решение.

1. Нормальное напряжение в произвольной точке сечения стержня, определяемой координатами х и у , запишется в виде

, (8.1)

где х р , у р - координаты точки приложения силы Р (точки A );

F - площадь поперечного сечения стержня;

J xc , J yc - главные моменты инерции сечения.

Определим величины главных моментов инерции сечения.

а) Найдем положение центра тяжести сечения С . Введем вспомогательную систему координат х B у (рис. 8.2), относительно нее координаты центра тяжести равны

Статические моменты сечения равны сумме статических моментов элементарных сечений (1, 2, 3), на которые его можно разбить (см. рис. 8.3). Отметим, что площадь первой фигуры следует брать со знаком минус.

Подставляя исходные данные, получим:

см 3 .

Тогда см.

Ввиду симметрии сечения координату центра тяжести у c можно найти без вычислений, она равна половине вертикального размера сечения

у c = 2 b = 4 см. Через найденный центр тяжести C проводим главные центральные оси х с и у с.

б) Вычислим главные моменты инерции.

Так как ось х с и оси элементарных сечений х 1 , х 2 , х 3 совпадают, то:

см 4 .

Для вычисления момента инерции относительно оси у с используем формулу изменения момента инерции при параллельном переносе осей:

см 4 .

Здесь через d 1 , d 2 , d 3 обозначены : соответственно расстояния между осью у с и осями у 1 , у 2 , у 3 :

Для определения наибольших напряжений сжатия и растяжения, возникающих в сечении, определим положение нейтральной линии. Ее положение определяется уравнением

,

 где и - отрезки, отсекаемые нейтральной линией на осях x c и y c ,

, - главные радиусы инерции сечения,

х Р , у Р – координаты точки приложения силы Р (точки А ) относительно центральных осей х Р = -1,14 см, у Р = 2 см.

Получим

см, см, см , см.

 

Отложим отрезки х0 и у0 и проведем через них нейтральную линию (рис.8.4).

Нейтральная линия делит сечение на две части, в одной возникают напряжения сжатия, в другой – растяжения. В точке А прикладывается сжимающая сила Р , поэтому часть, включающая т. А – область сжатия, другая часть – область растяжения. Максимальные напряжения возникают в точках сечения наиболее удаленных от нейтральной линии. Для определения этих точек проведем линии параллельные нейтральной, получим в растянутой части точку К (-4,14; 4), в сжатой точку Е (1,86; -4) (рис.8.4).

Подставляя в формулу (8.1) вычисленные значения моментов инерции, а также координаты точки приложения нагрузки и точек, где возникают наибольшие сжимающие (т. К ) и растягивающие (т. Е ) напряжения, получим:,

- максимальные напряжение растяжения

.

По вычисленным значениям построим эпюру (рис.8.4).

2. Определим величину допускаемой силы [ P ].

Из условия прочности стержня при сжатии

, получим

кН.

Из условия прочности стержня при растяжении

, получим

кН.

Выбирая меньшую из двух нагрузок, окончательно принимаем

кН.


Определение реакций опор балки