Кинематика примеры задач

Электротехника
Лабораторные работы
Примеры расчета типовых задач
Расчетно-графическая работа
Электрические цепи постоянного и переменного тока
Расчеты цепей постоянного и переменного тока
Основные законы электрических цепей
Расчет простых цепей постоянного тока
Расчёт сложной цепи методом контурных токов
Электрические цепи переменного тока
Расчёт цепей переменного тока
Трехфазная цепь переменного тока
Расчет трехфазной цепи при соединении потребителей звездой
Нелинейные электрические цепи постоянного тока
Магнитные цепи
Трансформаторы
Расчёт параметров трёхфазного трансформатора
Работа асинхронной машины при вращающемся роторе
Выпрямители переменного тока

Трехфазная схема выпрямления с нулевой точкой

Сопромат
Сопротивление материалов
Расчетно-графическое задание
Машиностроительное черчение
Математика
Математический анализ
Функции и их графики
Теория и задачи на вычисления пределов
Примеры решения задач на вычисление производной и дифференциала
Возрастание и убывание функции
Система координат
Системы линейных уравнений
Матрицы
Курсовая по Кузнецову
Задачи по мат. анализу
Интегральное исчисление
Кратные интегралы. Двойной интеграл
Примеры решения задач типового расчета
Энергетика
Технологическое оборудование АС с реактором РБМК 1000
Физика
Элементы квантовой механики
Кинематика примеры задач
Молекулярные спектры
Полупроводники
Ядерная физика
Лекции и задачи по физике
Физические основы термодинамики
Лабораторная работа
Деление кристаллов на диэлектрики, металлы и полупроводники
Атомная физика
Закон радиоактивного распада
Задача
Уравнение динамики поступательного движения тела
Мерой инертности твердого тела
Точка совершает гармоническое колебание
Средняя кинетическия энергия
Изотермическое расширение
Идеальный 3х атомный газ
Информатика
Концепция организации локальных сетей
Типы глобальных сетей
Помехоустойчивые коды
История искусства
Введение в историческое изучение искусства
Печатная графика
Скульптура
Архитектура
 

Кинематика – раздел механики, в котором изучается механическое движение материального тела без рассмотрения причин, по которым это движение происходит. Введем основные понятия, которыми необходимо будет пользоваться в дальнейшем. Будем рассматривать движение тела, пользуясь декартовой прямоугольной системой координат. Линия, которую описывает движущаяся точка в пространстве, называется траекторией.

Человек прошел по проспекту 240 м, затем повернул на перекрестке и прошел в перпендикулярном направлении еще 70 м. На сколько процентов путь, пройденный человеком, больше модуля его перемещения?

Задача Определить среднюю скорость автомобиля на всем участке движения в следующих двух случаях

Скорость характеризует быстроту движения точки. В процессе движения скорость может меняться. Мгновенная скорость – скорость точки в данный момент времени. Определяется мгновенная скорость как производная радиус- вектора по времени: , где - бесконечно малый промежуток времени, настолько малый, что в течение этого промежутка скорость можно считать неизменной, - вектор бесконечно малого перемещения, совершенного телом за время .

Ускорение – векторная величина показывает, как быстро изменяется скорость тела. По определению ускорение это производная скорости по времени: , где - бесконечно малый промежуток времени, в течение которого ускорение можно считать постоянным, а - бесконечно малый вектор изменения скорости. Если в процессе движения ускорение тела постоянно по модулю и по направлению, такое движение называют равнопеременным. Равнопеременное движение может быть и прямолинейным и криволинейным. В случае прямолинейного движения можно различать равноускоренное и равнозамедленное движение. При равноускоренном прямолинейном движении направления векторов ускорения и мгновенной скорости совпадают, а при равнозамедленном прямолинейном движении направления этих векторов противоположны

Для равнопеременного движения зависимости радиус-вектора и вектора скорости от времени имеют вид:; . Эти векторные уравнения, будучи спроецированными на оси координат ОX и ОY , имеют вид

Задача Спуск длиной 100 м лыжник прошел за 20 с, двигаясь с постоянным ускорением 0,3 м/с2. Найти скорость лыжника в конце пути.

Тело начинает двигаться равноускоренно вдоль некоторой оси с начальной скоростью 10 м/с. Какой должна быть величина ускорения, чтобы за 2 с оно сместилось на 10 м относительно начальной точки движения?

Задача Пущенное вверх по наклонной плоскости тело через время 4 с оказалось ниже своего первоначального положения на расстоянии 16 м вдоль плоскости. В этот момент значение скорости тела было равным 10 м/с. Определить ускорение тела и значение начальной скорости. Построить графики движения.

Тело, которому была сообщена начальная скорость 10 м/с, движется после этого вдоль прямой с постоянным ускорением 2 м/с2 и направленным противоположно начальной скорости. Определить путь, пройденный телом за 8 с движения.

Задачи с использованием графиков Мотоциклист и велосипедист движутся по прямолинейному участку дороги навстречу друг другу со скоростями 10 м/с и 5 м/с соответственно. В начальный момент расстояние между ними равно 210 м. Определить: время и место их встречи; в какие моменты времени расстояние между ними равно 120 м; пути, пройденные мотоциклистом и велосипедистом к моменту их встречи. Задачу решить аналитически и графически.

Движение тела под действием силы тяжести. Одним из видов равнопеременного движения является движение под действием силы тяжести, которое, независимо от направления движения, происходит с одним и тем же ускорением , направленным вертикально вниз. Для описания этого движения выбирают прямоугольную систему координат и применяют уравнения равнопеременного движения.

Тело брошено вертикально вверх со скоростью 25 м/с. Какой путь пройдет тело за третью секунду своего движения?

Криволинейное движение тела под действием силы тяжести. Задача Тело бросили с высоты h , сообщив ему скорость V0 в горизонтальном направлении. Определить величину скорости и угол, под которым она направлена к горизонту в момент времени, равный половине времени падения тела на землю.

Определить максимальную высоту и дальность полета тела, брошенного с высоты 20 м от поверхности Земли под углом 600 к горизонту. Начальная скорость тела 30 м/с.

Движение двух тел. Тело бросают с поверхности Земли вертикально вверх с начальной скоростью 20 м/с. Одновременно с высоты 50 м над поверхностью Земли бросают второе тело вертикально вниз с начальной скоростью 5 м/с. Определить время и место их встречи.

С высоты начинает падать без начальной скорости тело. Одновременно с ним с поверхности Земли под углом a бросают другое тело так, чтобы оба тела столкнулись в воздухе. Расстояние по горизонтали между точками бросания равно L. Показать, что угол a не зависит от начальной скорости V0 второго тела, и определить этот угол, если .

Последовательные этапы движения с различными ускорениями. Двигатель ракеты, запущенной с поверхности Земли вертикально вверх, сообщает ей постоянное ускорение равное 10 м/с2. В течении какого минимального времени должен проработать двигатель, чтобы ракета достигла максимальной высоты 250 м?

Кинематика равномерного движения по окружности. Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью – криволинейное движение, траекторией которого является окружность и при котором модуль скорости материальной точки остается постоянным. Угловая скорость – величина, характеризующая быстроту движения тела по окружности, равная отношению угла поворота радиуса, связанного с точкой, к промежутку времени за который этот поворот произошел: .

Сфера радиусом 1 м вращается вокруг вертикальной оси с частотой 90 об/мин. Определить нормальное ускорение точек сферы, направление на которые из центра сферы составляет угол 600 с вертикалью.

Комбинированные задачи Ось с двумя дисками, жестко закреплёнными на ней и расположенными на расстоянии 0,9 м друг от друга, вращается с частотой 2500 об/мин. Пуля, летящая вдоль оси, пробивает оба диска. При этом отверстие от пули во втором диске смещено относительно отверстия в первом диске на угол 300. Найти скорость пули.

После работ Максвелла и Больцмана, после того, как появилось множество физических приложений теории, из которых вытекала высокая эффективность теории, почти все были убеждены в том, что здание физики уже построено. Общее мнение физиков того времени хорошо выражают слова: на светлом небосклоне физики имеются лишь два небольших тёмных облачка – теория излучения абсолютно чёрного тела и эксперименты Майкельсона. Но эти две проблемы казались малозначительными, не делающими погоды. Казалось несомненным, что они будут решены на основе общепринятых представлений. Теперь мы знаем, сколь ошибочным было мнение большинства: из двух небольших облачков  выросли теория квантов и теория относительности – два кита, на которых стоит современная физика. Для устранения двух облачков потребовался революционный переворот в физических представлениях.

Квантовая гипотеза Планка День рождения квантовых представлений – 14.12.1900. Предварительные результаты были доложены немного раньше – 19 октября 1900 г., когда была доложена работа, в которой выведена новая формула для излучения. Эта работа была опубликована в 1901 г. Напомню, что основной энергетической характеристикой равновесного теплового излучения является плотность энергии . Мы ограничимся излучением абсолютно чёрного тела, т.е. такого тела, которое полностью поглощает электромагнитное излучение, падающее на тело.

Световые кванты Таким образом, с одной стороны, свет - это электромагнитные волны, а с другой – свет, согласно гипотезе Планка, испускается и поглощается в виде отдельных порций. И получается так, как если бы свет состоял из отдельных частиц. Классическая физика исходит из того, что существует принципиальное различие между волнами и частицами (корпускулами). Классическая частица – это сгусток вещества, комочек материи, сосредоточенный в очень малом объёме. Волна же – такой материальный объект, который занимает более или менее значительные области (линейные размеры которых ,  - длина волны), так как это периодический процесс. Частица движется по траектории. Применительно же к волне понятие траектории не имеет смысла. Волны могут интерферировать, испытывать дифракцию при их наложении. Частицы же к этому не способны. Можно сказать, что движение по траектории и волновое движение – качественно различные виды движения: это несовместимые противоположности.

Элементарные процессы взаимодействия и законы сохранения Одним из важнейших, принципиальных вопросов электродинамики является вопрос о механизме взаимодействия электромагнитного излучения с веществом. Ответ на него – важнейшая задача физики. Напомню, в чём состоит классический механизм. Если заряженную частицу поместить в электромагнитное поле, то возникает действующая на частицу сила Лоренца, под влиянием которой частица совершает вынужденные колебания. На процесс раскачивания частицы затрачивается энергия электромагнитной волны – происходит поглощение энергии электромагнитного поля заряженной частицей.

  Рассмотрим примеры квантовых процессов. Фотоэффект – это вырывание электронов из металла под действием электромагнитной волны. На квантовом языке происходит следующее: в начальном состоянии имеется электрон, связанный с проводником, и фотон с энергией . Чтобы вырвать электрон из металла и перевести его из связанного состояния в свободное, нужно произвести некоторую работу. Та наименьшая работа, которую нужно произвести, чтобы вырвать электрон из металла, называется работой выхода, обозначим ее через А. Значит, в начальном состоянии имеется электрон с энергией , знак « - » означает, что электрон находится в связанном состоянии в металле, и фотон с энергией . В результате взаимодействия фотон поглощается, а электрон переходит в свободное состояние с энергией . Кроме того, часть энергии превращается в тепловую энергию, т.к. вырванный электрон сталкивается с окружающими атомами и передаёт им часть энергии

Гипотеза де Бройля. Дифракция электронов В 1924 г. Луи де Бройль выдвинул идею о том, движение любой частицы вещества представляет собой волновой процесс, частота  и волновой вектор  которого определяются равенствами (см. (11)) , где Е и  - энергия и импульс частицы. Подставляя во второе из приведенных равенств формулу  , получаем формулу де Бройля . (16)

Основные понятия квантовой механики Волновая функция и ее физическая интерпретация (плотность вероятности, нормировка волновой функции, неоднозначность волновой функции в виде фазового множителя ). Принцип суперпозиции в квантовой механике (разложение в ряд Фурье, волновая функция в импульсном представлении). Среднее значение координат и импульсов (оператор физической величины, принцип соответствия).

Принцип суперпозиции

Среднее значение координат и импульсов

Свойства операторов физических величин В квантовой механике используются линейные операторы, т.е. операторы, обладающие свойствами:   (15) где , - произвольные функции, а - произвольная постоянная. Оператор физической величины должен обладать еще одним свойством: он должен быть эрмитовым (самосопряженным).

Собственные значения и собственные функции операторов. Задача на собственные значения операторов Поставим задачу: найти такие состояния микросистемы, в которых физическая величина имеет строго определённые значения.

Измерение физических величин в квантовой механике Вероятность результатов измерения физической величины. Условие возможности одновременного измерения разных физических величин. Соотношения неопределенностей и их физические следствия.

Условие возможности одновременного измерения разных физических величин Рассмотрим состояние частицы с определённым значением координаты. Такое состояние описывается волновой функцией  

Соотношения неопределенностей и их физические следствия Рассмотрим отклонение результата измерения координаты от среднего значения, т.е. абсолютную погрешность координаты: . Так как , то за меру отклонения индивидуальных измерений от среднего значения принимают не , а среднее квадратичное отклонение .

Волновая функция и измерения. Редукция волновой функции Измерение физической величины представляет собой процесс взаимодействия системы, над которой проводят измерение, с прибором. Нас интересует квантовая система. В результате этого взаимодействия прибор переходит из начального в некоторое другое состояние, и по этому изменению состояния прибора мы судим о состоянии квантовой системы. Пусть состояние прибора характеризуется величиной g (показания прибора). Волновую функцию прибора обозначим через ,  - совокупность координат прибора. Прибор будем считать классическим, т.е. подчиняющимся классической механике.

Уравнение Шредингера

Принцип причинности в квантовой механике. Временное уравнение Шредингера Согласно основному постулату квантовой механики, волновая функция   полностью описывает поведение системы. Это значит, что, зная волновую функцию в момент времени , можно определить волновую функцию в следующий момент времени . Нахождение волновой функции в момент времени   по известной волновой функции в предыдущий момент  составляет основную задачу квантовой динамики. Для решения этой задачи нужно знать временное уравнение, описывающее изменение во времени (временную эволюцию) волновой функции.

Стационарные состояния Попытаемся получить стационарное состояние, исходя из временного уравнения Шредингера (8). Рассмотрим квантовую систему, оператор Гамильтона которой не зависит явно от . В этом случае  - оператор полной энергии. Очевидно, существуют такие решения уравнения (8), которые имеют мультипликативную форму: .

Представления Шредингера и Гейзенберга

Уравнение непрерывности в квантовой механике

Квантовые скобки Пуассона Запишем операторы координаты и импульса в представлении Гейзенберга:

Интегралы движения

Простейшие задачи квантовой механики

Движение квантовой частицы в однородном электрическом поле Пусть на частицу с зарядом  действует электрическое поле с напряженностью . Если , то потенциал поля можно взять в виде . Тогда потенциальная энергия частицы составит: .

Квантовый гармонический осциллятор В классической механике полная энергия осциллятора дается формулой , где  - масса частицы,  - собственная частота осциллятора. Выполняя здесь замену , получаем оператор Гамильтона. Уравнение Шредингера для стационарных состояний имеет вид:

Частица в потенциальной яме Рассмотрим движение квантовой частицы в прямоугольной потенциальной яме

Туннельный эффект Рассмотрим потенциальный барьер высотой  в области , на который падают свободные частицы. Имеются три области – области I и III, в которых , и область II, в которой . Рассмотрим частицы с энергией . В классической механике так как  (- кинетическая энергия частицы). Значит, классическая частица не может проникнуть вглубь барьера. Точка  является точкой поворота: столкнувшись с барьером, частица отражается и летит в обратном направлении. Если , то классическая частица беспрепятственно проходит область II над барьером.

Два типа туннельных эффектов В предыдущем разделе мы рассмотрели свободные электроны, падающие на барьер. При этом оказалось, что , т.е. эти величины не зависят от координат. Поэтому , т.е. при прохождении свободного электрона сквозь барьер не возникает источников или стоков вектора . Прохождение свободного электрона сквозь барьер будем называть туннельным эффектом первого типа. В силу уравнения непрерывности , в этом случае . Значит, туннельный эффект первого типа - это стационарный процесс, состоящий в том, что свободные электроны перемещаются из одной области пространства в другую, разделённые потенциальным барьером конечной ширины.

Момент импульса микрочастицы

Оператор квадрата момента импульса Чтобы найти собственные значения операторов момента, перейдём к сферической системе координат

Мультиплеты и спин электрона Характерной особенностью квантовой системы является квантование энергии, состоящее в том, что энергия частицы может принимать лишь отдельные, дискретные значения. О таких значениях энергии говорят как об энергетических уровнях. Процессы испускания и поглощения света веществом происходят в результате квантовых переходов электронов в атомах с одного уровня энергии на другой. Рассмотрим квантовую систему с двумя уровнями энергии -  и . При переходе электрона  излучается фотон с частотой .

Расщепление спектральных линий в магнитном поле Рассмотрим атом с одним валентным электроном, находящийся во внешнем однородном магнитном поле , которое направлено вдоль оси .

Полный момент импульса является суммой орбитального  и спинового  моментов: .

Движение микрочастицы в кулоновском поле Движение в поле центральной силы Рассмотрим микрочастицу в центрально-симметричном поле. Такое поле характеризуется тем, что в нём имеется характерная точка, называемая силовым центром, которая обладает следующим свойством: если силовой центр поместить в начале координат, то закон действия силы запишется в виде

Движение в кулоновском поле

Сферические волны Плоская волна описывает стационарное состояние свободной квантовой частицы с импульсом   и энергией . Рассмотрим такое состояние, в котором, наряду с энергией, определены также величина и проекция момента импульса

Теория возмущений

Возмущение при наличии вырождения Считаем, что собственному значению  нулевого гамильтониана  отвечает несколько собственных функций:   (- кратность вырождения). Вместо этих функций можно взять произвольную линейную комбинацию .

Временная теория возмущений. Квантовые переходы. Функция Грина Рассмотрим уравнение Шредингера в некотором внешнем поле, которое будем считать малым возмущением : .

Суммирование ряда теории возмущений для волновой функции Чтобы получить точное решение уравнения (18), введём функцию Грина возмущённой задачи (полную функцию Грина) .

Теория возмущений для оператора эволюции

Испускание и поглощение фотонов квантовой системой Рассмотрим вероятность перехода атома с одного уровня на другой под действием электромагнитного поля. Пусть электромагнитное поле, вызывающее переход, монохроматично: . Если  - линейные размеры атома, то в пределах атома фаза изменяется на величину порядка . Считаем, что .

Теория столкновений

Точная теория рассеяния. Фазы рассеянных волн и эффективное сечение Вернёмся к точному уравнению (3). Решение этого уравнения, отвечающее энергии , квадрату момента  и проекции момента , выражается через шаровую функцию: .

-оператор и матрица рассеяния В предыдущем разделе мы ввели матрицу рассеяния, исходя из стационарного уравнения Шредингера. Рассмотрим теперь подход, основанный на использовании временной теории возмущений. Пусть до момента времени  система находилась в состоянии , затем включается возмущение и в момент времени , когда выключается возмущение, ищется вероятность перехода в некоторое состояние   (). Если  - оператор временной эволюции, то состояние системы в момент  будет:

Системы одинаковых квантовых частиц

Постановка задачи вторичного квантования Вторичное квантование - это особый метод рассмотрения квантовых систем, состоящих из большого числа одинаковых частиц. Пусть  - полная ортогональная система волновых функций, описывающих стационарные состояния одной частицы с квантовыми числами . Рассмотрим квантовую систему   невзаимодействующих частиц, из которых   частиц описываются волновой функцией ,  - волновой функцией  и т.д. с полным числом частиц .