Элементы квантовой механики Кинематика примеры задач Молекулярные спектры Электрические цепи постоянного и переменного тока Расчеты цепей постоянного и переменного тока Электрические цепи переменного тока

П. Дираком было получено (1928) релятивистское волновое уравнение для электрона, которое позволило объяснить все основные свойства электрона, в том числе наличие у него спина и магнитного момента. Замечательной особенностью уравнения Дирака оказалось то, что из него для полной энергии свободного электрона получались не только положительные, но и отрицательные значения. Этот результат мог быть объяснен лишь предположением о существовании античастицы электрона — позитрона.

Полный момент импульса является суммой орбитального  и спинового  моментов:

.

Используя это определение и правила коммутации для  и , легко получить, что

  (26)

Из (26) видно, что одновременно можно измерить квадрат полного момента импульса и одну из проекций . Одновременно можно измерить также квадраты моментов: . Квадрат полного момента и его проекция на любое направление квантуются согласно равенствам: Общие свойства гармонических колебаний.

 (27)

  Квантовое число , определяющее собственные значения полного момента, выражается через орбитальное квантовое число  и спиновое :

.

Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле

Напомним, что для произвольного электромагнитного поля  оператор Гамильтона дается формулой

.  (28)

Учитываем равенство

и направляем магнитное поле  вдоль оси , , выбирая вектор-потенциал следующим образом:

.

В результате уравнение Шредингера для стационарных состояний запишется так:

.  (29)

В силу того, что переменные  и  не входят в , вдоль  и  получается свободное движение. Переменные в уравнении (29) разделяются, если решение искать в виде:

. (30)

Функция  подчиняется уравнению

Очевидно, что с помощью линейного преобразования независимой переменной ,

  (31)

это уравнение можно свести к уравнению гармонического осциллятора. Так как

то можно положить:

 .

Обозначим: 

 .

В результате приходим к уравнению Шредингера для осциллятора:

. (32)

На основании решения задачи об осцилляторе получаем:

  (33)

Из выражения (30) видно, что можно положить ( и - компоненты импульса):

 .

Из (32) и (33) получаем следующее выражение для уровней энергии:

. (34)

Последнее слагаемое в правой части (34) – это кинетическая энергия движения частицы вдоль оси , а первое слагаемое – кинетическая энергия в плоскости, перпендикулярной к направлению магнитного поля. Эта энергия квантуется. Таким образом, спектр энергии заряженной частицы в магнитном поле содержит как непрерывную компоненту, так и дискретную. 

Из классической электродинамики известно, что контур с током силой  обладает магнитным моментом , где - площадь той части плоскости, которая ограничена контуром. Если контур поместить в магнитное поле , то он начинает взаимодействовать с магнитным полем. Под действием магнитного поля магнитный момент стремится повернуться так, чтобы энергия взаимодействия была минимальной, а именно: магнитный момент стремится установиться вдоль силовых линий магнитного поля . Энергия взаимодействия дается формулой

. (35)

Из (35) видно, что проекция магнитного момента  есть целое кратное от магнетона Бора .

Квантование энергии электрона в магнитном поле (уровни Ландау) – следствие квантовой механики. Оно приводит к появлению диамагнитных свойств электронного газа.

Отметим соответствие полученных результатов с классической теорией: согласно последней, частица совершает круговое движение в плоскости  с частотой  и поступательное движение вдоль магнитных силовых линий. В квантовой теории круговое движение квантуется, а поступательному движению отвечает импульс .

 Отметим также, что энергия (34) не зависит от компоненты импульса , т.е. имеется вырождение бесконечно высокой кратности.

Контрольные вопросы

С каким свойством симметрии пространства связан закон сохранения момента импульса?

Как определяется собственный момент импульса классической частицы?

Каков физический смысл собственного момента импульса?

Можно ли одновременно измерить компоненты момента  и ?

Какие значения может принимать момент импульса квантовой частицы?

Как определяется направление момента импульса квантовой частицы?

Какие величины, связанные с моментом импульса, можно измерить одновременно?

Каков физический смысл орбитального и магнитного моментов? Какие значения могут принимать эти моменты?

Что такое мультиплеты? Что является причиной возникновения мультиплетов?

Что такое спин квантовой частицы?

Чем отличается уравнение Паули от уравнения Шредингера?

Какой вид имеет волновая функция, подчиняющаяся уравнению Паули?

В чем состоит эффект Зеемана?

Каков энергетический спектр электрона в однородном магнитном поле?

Почему происходит квантование энергии электрона в магнитном поле?

Пример 4. Глухая кирпичная стена имеет размеры: длина - 5 м,высота - 3.0 м, толщина - 50 см ( 2 кирпича). Рассчитать поток тепла, если внутренняя температура стены - +180С, а наружная - -200С. Определить количество тепла уходящее через стену за 1с и за 1час. Оценить мощность теплового источника, требуемого для компенсации потерь тепла. Теплопроводность кирпича 0.8 Вт/м×К

Решение CИ

l = 5 м - “ -

h = 2.7 м - “ -

d = 50 см 0.5 м

t1 = +180C T1 =291 K

t2 = -200C T2 =253 K

l = 0.8 Вт/м К - “ -

Поток тепла через поверхность q (количество энергии передающееся через единицу площади [1 м2] за 1c) определяется законом Фурье:

  T

q = - l ¾¾¾ (1) 

  х

где l - коэффициент теплопроводности.

Градиент температуры на поверхности стены  T/ х можно оценить как:

T T2 - T1  253 -291 

¾¾ » ¾¾¾¾ = ¾¾¾¾ = - 76 К/м (2) 

х х2 - х1 0.5

Тогда:

q = - 0.8 ( - 76) = 60.8 Дж/м2с

Все количество тепла через поверхность площадью S за время t будет определяться формулой:

Q = q S t (3)

За время t1= 1c через стену проходит количество тепла Q1:

Q1 = qSt1 = 60.8×5×3×1 = 912 = 9.12×102 Дж. (4)

За время t2= 1чаc=3600 с через стену проходит количество тепла Q2:

Q2 =qSt2 = 60.8×5×3×3600 = 3283200 » 3.28×106 Дж (5)

Мощность источников тепла для компенсации потерь через эту стену должна быть:

N = Q/t = qS = 60.8×5×3 = 912 Вт (6)

Проверка размерности:

[Q] = [q][S][t] =(Дж/м2с) (м2) (с) = Дж

[N] = [q][S] = (Дж/м2с)(м2) = Дж/с = Вт

Ответ: Q1 = 912 Дж, Q2 =3.28×106 Дж , N = 912 Вт 

Ядерные реакции классифицируются по следующим признакам:

1) по роду участвующих в них частиц — реакции под действием нейтронов; реакции под действием заряженных частиц (например, протонов, дейтронов, a-частиц); реакции под действием g-квантов;

2) по энергии вызывающих их частиц — реакции при малых энергиях (порядка электрон-вольт), происходящие в основном с участием нейтронов; реакции при средних энергиях (до нескольких мегаэлектрон-вольт), происходящие с участием g-квантов и заряженных частиц (протоны, a-частицы); реакции при высоких энергиях (сотни и тысячи мегаэлектрон-вольт), приводящие к рождению отсутствующих в свободном состоянии элементарных частиц и имеющие большое значение для их изучения;


Выпрямители переменного тока