Элементы квантовой механики Кинематика примеры задач Молекулярные спектры Электрические цепи постоянного и переменного тока Расчеты цепей постоянного и переменного тока Электрические цепи переменного тока

В отличие от радиоактивного распада, который протекает всегда с выделением энергии, ядерные реакции могут быть как экзотермическими (с выделением энергии), так и эндотермическими (с поглощением энергии).

Постановка задачи вторичного квантования

 Вторичное квантование - это особый метод рассмотрения квантовых систем, состоящих из большого числа одинаковых частиц.

 Пусть  - полная ортогональная система волновых функций, описывающих стационарные состояния одной частицы с квантовыми числами . Рассмотрим квантовую систему   невзаимодействующих частиц, из которых   частиц описываются волновой функцией ,  - волновой функцией  и т.д. с полным числом частиц . Поставим себе целью построить математический аппарат, в котором роль независимых переменных играют не координаты и проекции спина на выделенное направление для каждой частицы, а величины   (называемые числами заполнения состояния   , или населенностями состояния ). Волновую функцию системы  частиц можно было бы записать так:

,

где  радиус-вектор и проекция спина на некоторое направление (например, на ось ) частицы . Мы будем использовать обозначения Дирака:   - волновая функция, описывающая систему  частиц.

 Пусть мы имеем систему бозонов. Тогда волновая функция симметрична относительно перестановки координат любой пары частиц. Пусть  - номера состояний, в которых находятся отдельные частицы (среди этих номеров могут быть и одинаковые). Если имеется система из двух частиц в состояниях  и  (), то

.

В общем случае системы  частиц

  , (6)

где сумма берётся по всем перестановкам различных из индексов ; числа  указывают, сколько из индексов имеют одинаковое значение . При интегрировании  по  в нуль обращаются все члены, за исключением квадратов модулей каждого слагаемого суммы. Полупроводниковые детекторы оптического излучения Лабораторные работы по оптоэлектронике

 В случае фермионов волновая функция всей системы антисимметрична относительно перестановки координат любой пары частиц и поэтому может быть записана в виде определителя

 (7)

 Соответственно выбору независимых переменных в виде чисел заполнения операторы физических величин также должны действовать на функции чисел заполнения.

Вторичное квантование: случай бозонов

  Вначале рассмотрим бозоны. Пусть  - оператор какой-либо величины, относящейся к частице , т.е. действующий на переменные . Определим симметричный по всем частицам оператор:

 (8)

(здесь суммирование идет по всем частицам). Наша задача – построить матричные элементы оператора между состояниями, описываемыми волновыми функциями (6).

  Так как каждый из операторов  действует только на одну функцию в произведении , то его матричные элементы отличны от нуля только для переходов с изменением состояния одной частицы. Если рассматривается, например, переход частицы из состояния  в состояние  (), причем до перехода населенности состояний были   и , соответственно, то после перехода населенности примут значения  и , т.е. имеет место переход ,  , . Как видим, в результате перехода число частиц, находящихся в одном состоянии, уменьшается, а в другом, соответственно, увеличивается на единицу. Соответствующий матричный элемент имеет вид (при ):

  (9)

Диагональные матричные элементы дают средние значения величины :

  .

 Введём операторы , действующие не на функции координат, а на функции чисел заполнения:  уменьшает на 1 значение переменной :

.  (10)

Т.е. оператор  уменьшает число частиц, находящихся в ом состоянии, на единицу. Это оператор уничтожения частицы в состоянии . Его можно представить в виде матрицы, единственный отличный от нуля элемент которой есть

.  (11)

Сопряжённый с  оператор  изображается матрицей с единственным ненулевым элементом:

  .

Это значит, что оператор  - это оператор рождения частицы в состоянии :

.  (12)

Произведение операторов  при воздействии на волновую функцию может лишь умножить её на постоянную. Поэтому  изображается диагональной матрицей с диагональными элементами, равными :

.

Аналогично:

  =.

Значит,

.  (13)

Операторы же с разными индексами  и , действующие на разные переменные ( и ), коммутативны:

  (14)

Нетрудно убедиться в том, что матричные элементы оператора

  (15)

совпадают с матричными элементами оператора (8). Это значит, что оператор (15) совпадает с оператором (8). Таким образом, обычный оператор, действующий на функции координат, удалось выразить в виде оператора, действующего на функции чисел заполнения.

 Оператор Гамильтона системы невзаимодействующих частиц

в представлении вторичного квантования запишется следующим образом:

.

Если в качестве функций  выбрать собственные функции оператора Гамильтона   отдельной частицы, то матрица   будет диагональна, а её диагональные матричные элементы будут собственными значениями энергии . Значит,

 .

Заменяя собственными значениями , получим для уровней энергии системы выражение

.

  Аппарат вторичного квантования можно представить в более компактной форме, введя операторы поля. С этой целью рассмотрим произвольное одночастичное состояние, волновую функцию которого  разложим в ряд по полной системе функций : . (16)

В этом разложении  - числовые коэффициенты, вид которых зависит от функции . Теперь в (16) выполним замену , где  - оператор уничтожения частицы в состоянии . В результате волновая функция  превращается в оператор поля частиц (выписываем также и эрмитово сопряженный оператор поля):

.  (17)

Предполагается при этом, что операторы рождения и уничтожения частиц  и подчиняются перестановочным соотношениям (13) и (14). Правила коммутации полевых операторов определяются равенствами:

  (18)

 Отметим, что замена коэффициентов  в формуле (16) операторами уничтожения частиц  называется вторичным квантованием. При этом имеется в виду, что описание поведения частицы с помощью волновой функции (16) уже является квантовым (это как бы первичное квантование). Вводя волновую функцию , мы вводим тем самым квантовое поле, связанное с частицей. Замена  приводит к тому, что теперь мы получаем право говорить о частицах как о квантах, соответствующих данному полю. Тем самым метод вторичного квантования позволяет более четко выявить корпускулярную природу поля.

  Вторично квантованный оператор  запишется так:

 .

Оператор Гамильтона, выраженный через - операторы, имеет вид:

  (19)

Оператор числа частиц дается формулой

 

 Операторы вторичного квантования действуют на векторы состояния . Обозначим через  вектор вакуумного состояния, т.е. состояния поля без частиц. По определению, вектор состояния   удовлетворяет условию:

  при любых значениях квантовых чисел . (20)

Вектор состояния  описывает одночастичное состояние – состояние поля, в котором имеется один бозон с квантовыми числами . Отметим равенство  и условие нормировки вектора вакуумного состояния . Многочастичные состояния могут быть получены, если на вектор состояния  подействовать оператором рождения частиц нужное число раз. Например, вектор состояния  описывает состояние поля с  бозонами в состоянии  и  бозонами в состоянии .

Вторичное квантование: случай фермионов

 В случае фермионов принципиальная сторона дела остаётся без изменения. Конкретные же формулы изменятся. Теперь волновые функции антисимметричны. При этом числа заполнения могут быть только 0 или 1.

 Операторы  должны определяться как матрицы с элементами:

  .

Операторы рождения и уничтожения подчиняются перестановочным соотношениям:

Все остальные формулы остаются в силе. Правила коммутации для - операторов теперь имеют вид:

  Отметим дираковские обозначения. Вектор состояния вакуума обозначается через  и называется вакуумным кет-вектором. Вводится вакуумный бра-вектор:  . Эти векторы состояния подчиняются соотношениям:

   при произвольных квантовых числах . Кет-вектор  описывает одночастичное состояние. При этом, в соответствии с принципом Паули,  при  .

 

Контрольные вопросы

Как изменяется оператор Гамильтона системы одинаковых частиц при перестановке координат пары частиц?

Чем отличаются симметричные состояния системы одинаковых частиц от антисимметричных?

Возможны ли квантовые переходы между симметричными и антисимметричными состояниями?

В чем состоит различие между волновыми функциями бозонов и фермионов?

Какова связь между типом симметрии волновой функции и спином частицы?

В чем состоит принцип Паули? Откуда он следует?

Выполняется ли принцип Паули для бозонов? Почему?

Какова основная идея (постановка задачи) вторичного квантования?

Что такое операторы рождения и уничтожения частиц?

Чем отличаются операторы рождения и уничтожения фермионов от аналогичных операторов, относящихся к бозонам?

Что такое полевой оператор и каким образом он конструируется?

Каковы перестановочные соотношения для операторов поля?

Объяснить содержание слова «вторичное» в названии «вторичное квантование». В чем состоит «первичное» квантование? Каковы преимущества метода вторичного квантования?

Что такое вакуумное состояние поля? Как из вакуумного состояния получить многочастичное?

Как определяются вакуумные кет-вектор и бра-вектор? Какова связь между ними?

Закон сохранения энергии Епот +Екин +Евращ=const

Работа при повороте на угол dj dА = Mdj

Основные законы и и формулы молекулярной физики и термодинамики

Количество вещества  n = N/NA = m/m

Уравнение Клапейрона - Менделеева РV = mRT/m

(уравнение состояния идеального газа)

Закон Дальтона Р = P1 + P2 +....+ Pn

Концентрация молекул n = N/V = NAr/m

Закон Фурье q =-l (dT/dх)

Первое начало термодинамики dQ = dU + dA

Основные законы и и формулы электростатики и постоянного тока

Закон Кулона F = q1 q2 / 4pee0 r2

Напряженность электрического поля Е = F/q1

Напряженность поля точечного заряда q2 Е = q2 / 4pee0 r2

Теорема Остроградского – Гаусса ò ЕndS = ( åqi )/ ee0

Cвязь между потенциалом j Е = -grad j

и напряженностью поля

Сила тока I = dq/dt

Заряд, прошедший по проводнику q = ò I(t) dt

Закон Ома для замкнутой цепи I = e/ (R + r)

В ядерной физике вводится характерное ядерное время — время, необходимое для пролета частицей расстояния порядка величины, равной диаметру ядра (d»10–15 м). Так, для частицы с энергией 1 МэВ (что соответствует ее скорости v»107 м/с) характерное ядерное время t=10–15 м/107 м/с=10–22 с. С другой стороны, доказано, что время жизни составного ядра равно 10–16—10–12 с, т. е. составляет (106—1010) t. Это же означает, что за время жизни составного ядра может произойти очень много столкновений нуклонов между собой, т. е. перераспределение энергии между нуклонами действительно возможно. Следовательно, составное ядро живет настолько долго, что полностью «забывает», каким образом оно образовалось. Поэтому характер распада составного ядра (испускание им частицы b) — вторая стадия ядерной реакции — не зависит от способа образования составного ядра — первой стадии.
Выпрямители переменного тока