Элементы квантовой механики Кинематика примеры задач Молекулярные спектры Электрические цепи постоянного и переменного тока Расчеты цепей постоянного и переменного тока Электрические цепи переменного тока

Ядерные фотоэмульсии  (1927; российский физик Л. В. Мысовский (1888—1939)) — это простейший трековый детектор заряженных частиц. Прохождение заряженной частицы в эмульсии вызывает ионизацию, приводящую к образованию центров скрытого изображения. После проявления следы заряженных частиц обнаруживаются в виде цепочки зерен металлического серебра. Taк как эмульсия — среда более плотная, чем газ или жидкость, используемые в вильсоновской и пузырьковой камерах, то при прочих равных условиях длина трека в эмульсии более короткая.

Распределение Ферми - Дирака

Рассмотрим идеальный ферми-газ, т. е. систему, состоящую из N фермионов (например, электронов), заключенных в сосуд с неизменяющимся объемом. Найдем число Ω способов, которыми эти N фермионов могут быть размещены по Z ячейкам. (Очевидно, что должно выполняться условие Z ≥ N; при Z = N фермионы могут быть размещены по ячейкам только одним способом.) Каждый способ размещения представляет собой микросостояние системы частиц. Следовательно, Ω есть не что иное, как статистический вес макросостояния системы. (В дальнейшем для краткости мы будем говорить просто «статвес».) Произведем все возможные перестановки ячеек. Число таких перестановок равно Z!. Однако вследствие неразличимости тождественных частиц перестановки занятых электронами ячеек не приводят к новому распределению. Таких перестановок N !. Перестановки незанятых электронами ячеек также ничего не изменяют. Таких перестановок (Z — N)!. Следовательно, число физически различимых распределений N фермионов по Z ячейкам равно

(14.2)

Энергия ε частицы зависит от ее координат (если есть внешнее поле) и компонент импульса: ε = f(x, y, z, px , py , pz ). Уравнение f(x, y, z, px , py , pz ) = const = ε определяет гиперповерхность («сверхповерхность») в фазовом пространстве, все точки которой соответствуют одной и той же энергии частицы. Разобьем все фазовое пространство на тонкие энергетические слои. Будем считать i-м слой, ограниченный поверхностями f (x, y, z, px, py, pz) = εi и f (x, y, z, px, py, pz) = εi+1. Тонким считается слой, для которого εi+1 - εi << εi. Теория атома водорода по Бору Постулаты, выдвинутые Бором, позволили рассчитать спектр атома водорода и водородоподобных систем - систем, состоящих из ядра с зарядом Ze и одного электрона (например, ионы Не+, Li2+), а также теоретически вычислить постоянную Ридберга.

Пусть в пределы i-го слоя попадает Zi ячеек и Ni частиц. Тогда согласно (14.2) статвес подсистемы из Ni частиц будет равен

Статвес системы равен произведению статвесов подсистем

(14.3)

В статистической физике предполагается, что все микросостояния равновероятны. Поэтому статвес пропорционален вероятности данного микросостояния.

Чтобы найти наиболее вероятное распределение частиц по ячейкам, нужно найти максимум выражения (14.3) при соблюдении условий

(14.4)

(Е — энергия системы).

Вместо максимума статвеса Ω будем искать максимум энтропии S = k lnΩ. С учетом (14.3)

(14.5)

Согласно формуле Стирлинга (см. Савельев, Приложение 2 в кн.3)

(это справедливо для n>1, что соблюдается для чисел Zi и Ni). Преобразовав выражение (14.5) по формуле Стирлинга, получим

(14.6)

где const = ∑ Zi ln Zi (варьируются только числа Ni).

Надо найти максимум выражения (14.6) при условии постоянства полного числа частиц N и энергии Е системы (см. (14.4)). Эта задача на условный экстремум решается методом множителей Лагранжа, суть которого заключается в следующем. Пусть требуется найти экстремум функции f(x1, x2, ..., xn),нa аргументы которой наложены условия φ(x1, x2, ..., xn) = С1, φ2(x1, x2, ..., xn) = С2, ..., где С1, С2, … — константы. В математике доказывается, что в этом случае надо приравнять нулю частные производные по всем переменным хi от функции

считая неопределенные множители Лагранжа λ1, λ2, ... постоянными. Решив получившуюся систему п уравнений, находим значения переменных х1, х2, ..., хп, при которых достигается условный экстремум. В соответствии с методом множителей Лагранжа образуем функцию

(14.7)

(α и β— множители Лагранжа) и приравняем частные производные этой функции по переменным Ni нулю:

Из полученных уравнений следует, что

(14.8)

Отношение Ni /Zi представляет собой среднее число частиц <ni>, приходящихся на одну ячейку, т. е. на одно квантовое состояние. Решив уравнение (14.8) относительно величин <ni> = Ni /Zi , придем к формуле

(14.9)

Значение множителя β можно найти, воспользовавшись тем, что равенство всех частных производных по Ni функции (14.7) равнозначно равенству нулю дифференциала этой функции:

(14.10)

(число частиц N остается постоянным, поэтому dN = 0). Предположим, что система получает обратимо количество теплоты dQ, в результате чего энтропия системы получает приращение dS = dQ/T. Поскольку объем системы остается постоянным, работы в ходе получения теплоты не совершается; следовательно, dQ = dE. Соответственно

(14.11)

Из соотношений (14.10) и (14.11) следует, что β = 1/Т. Подставив в (14.9) найденное значение β и представив множитель α в виде μ /Т, получим окончательное выражение для распределения Ферми-Дирака:

(14.12)

Параметр распределения μ называется химическим потенциалом. Он является функцией макроскопических параметров состояния ферми-газа, в частности температуры. Энергия частицы определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Очевидно, что с точностью до той же постоянной определяется и химический потенциал μ (иначе от выбора этой постоянной, т. е. от нашего произвола, зависели бы числа заполнения). Обычно аддитивную постоянную выбирают так, чтобы наименьшее значение энергии ε, было равно нулю. Тогда и химический потенциал делается однозначным.

При абсолютном нуле температуры величина μ, может быть только положительной. В противном случае экспонента в знаменателе (14.12) обращалась бы при Т = 0 в бесконечность, а числа заполнения — в нуль.

Вопросы для подготовки к экзамену и зачету.

Часть 1

Система отсчета. Траектория. Закон движения

Поступательное движение. Мгновенные скорость и ускорение.

Нормальное, тангенциальное и полное ускорение.

Вращательное движение. Мгновенные угловые скорость и ускорение.

Кинематические схемы в бытовых устройствах.

Сила, масса, количество движения. Законы Ньютона.

Понятия момента сил, момента инерции, момента количества движения. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела

Центр инерции. Условие равновесия тел.

Вес тела и его измерение.

Закон сохранения момента количества движения. Центрифуги. Центробежные фильтры.

Работа и энергия. Работа переменной силы.

Мощность. Мощность бытовых устройств Энергия кинетическая и потенциальная.

Кинетическая энергия вращающегося тела. Закон сохранения энергии в механике.

Силы упругости и трения. Виды деформации. Закон Гука. Энергия упругодеформированного тела.

Силы трения покоя, скольжения и качения. Коэффициент трения. Роль сил трения в технике.

Пузырьковая камера (1952; американский физик Д. Глезер (р. 1926)). В пузырьковой камере рабочим веществом является перегретая (находящаяся под давлением) прозрачная жидкость (жидкие водород, пропан, ксенон). Запускается камера, так же как и камера Вильсона, резким сбросом давления, переводящим жидкость в неустойчивое перегретое состояние. Пролетающая в это время через камеру заряженная частица вызывает резкое вскипание жидкости, и траектория частицы оказывается обозначенной цепочкой пузырьков пара — образуется трек, который, как и в камере Вильсона, фотографируется. Пузырьковая камера работает циклами. Размеры пузырьковых камер примерно такие же, как камеры Вильсона (от десятков сантиметров до 2 м), но их эффективный объем на 2—3 порядка больше, так как жидкости гораздо плотнее газов. Это позволяет использовать пузырьковые камеры для исследования длинных цепей рождений и распадов частиц высоких энергий
Выпрямители переменного тока